微积分学示例

$f (x) = 4 x^{2} - 2 x + 3$ , $[0, 2]$

解题步骤 1

如果 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上连续且在区间 $(a, b)$ 上可微，则区间 $(a, b)$ 内至少存在一个实数 $c$ 使得 $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。中值定理表述的是曲线在 $x = c$ 处的切线斜率与经过点 $(a, f (a))$ 和点 $(b, f (b))$ 的直线的斜率之间的关系。

如果 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续

且如果 $f (x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，

然后存在至少一个点， $[a, b]$ 中的 $c$ ： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ 。

解题步骤 2

检验 $f (x) = 4 x^{2} - 2 x + 3$ 是否连续。

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解题步骤 2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

求一阶导数。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $4 x^{2} - 2 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.1.2.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$8 x - 2 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 3.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 x - 2 + 0$

解题步骤 3.1.4.2

将 $8 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 8 x - 2$

解题步骤 3.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $8 x - 2$ 。

$8 x - 2$

解题步骤 4

判断导数在 $(0, 2)$ 上是否连续。

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解题步骤 4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4.2

$f' (x)$ 在 $(0, 2)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 5

该函数在 $(0, 2)$ 上可微，因为其导数在 $(0, 2)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 6

$f (x)$ 满足中值定理的两个条件。它在 $[0, 2]$ 上连续，并且在 $(0, 2)$ 上可微。

$f (x)$ 在 $[0, 2]$ 上连续，在 $(0, 2)$ 上可微。

解题步骤 7

在区间 $[0, 2]$ 内计算 $f (a)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 4 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 3$

解题步骤 7.2.1.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + 3$

解题步骤 7.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 3$

解题步骤 7.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 3$

解题步骤 7.2.2.2

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$f (0) = 3$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $3$ 。

$3$

解题步骤 8

在区间 $[0, 2]$ 内计算 $f (b)$ 。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = 4 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = 4 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 8.2.1.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f (2) = 16 - 2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 8.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 16 - 4 + 3$

解题步骤 8.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $16$ 中减去 $4$ 。

$f (2) = 12 + 3$

解题步骤 8.2.2.2

将 $12$ 和 $3$ 相加。

$f (2) = 15$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $15$ 。

$15$

解题步骤 9

求解 $x$ 的 $8 x - 2 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ ， $8 x - 2 = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ 。

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解题步骤 9.1

化简 $\frac{(15) - (3)}{(2) - (0)}$ 。

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解题步骤 9.1.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$8 x - 2 = \frac{15 - 3}{2 - (0)}$

解题步骤 9.1.1.2

从 $15$ 中减去 $3$ 。

$8 x - 2 = \frac{12}{2 - (0)}$

解题步骤 9.1.2

化简分母。

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解题步骤 9.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$8 x - 2 = \frac{12}{2 + 0}$

解题步骤 9.1.2.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$8 x - 2 = \frac{12}{2}$

解题步骤 9.1.3

用 $12$ 除以 $2$ 。

$8 x - 2 = 6$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$8 x = 6 + 2$

解题步骤 9.2.2

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$8 x = 8$

解题步骤 9.3

将 $8 x = 8$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $8 x = 8$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 x}{8} = \frac{8}{8}$

解题步骤 9.3.2

化简左边。

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解题步骤 9.3.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x}{8} = \frac{8}{8}$

解题步骤 9.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{8}{8}$

解题步骤 9.3.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.3.1

用 $8$ 除以 $8$ 。

$x = 1$

解题步骤 10

点 $x = 1$ 处存在一条切线，且与经过端点 $a = 0$ 和 $b = 2$ 的直线平行。

解题步骤 11

微积分学 示例

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