微积分学示例

$y = x \sqrt{4 - x}$

解题步骤 1

将 $y = x \sqrt{4 - x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x \sqrt{4 - x}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 - x}$ 重写成 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 2.1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 4 - x$ 。

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解题步骤 2.1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - x$ 。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.3.3

使用 $4 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.6

在公分母上合并分子。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.7

化简分子。

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解题步骤 2.1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.8

合并分数。

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解题步骤 2.1.1.8.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = x (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.8.4

组合 $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.9

根据加法法则， $4 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.10

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.14

合并分数。

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解题步骤 2.1.1.14.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.14.2

组合 $\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{x \cdot - 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.14.3

化简表达式。

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解题步骤 2.1.1.14.3.1

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{- 1 \cdot x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.14.3.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$f' (x) = \frac{- x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.14.3.3

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.1.1.15

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 2.1.1.16

将 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.1.1.17

要将 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.18

组合 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = - \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.19

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.20

通过指数相加将 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1.20.1

移动 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.20.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.20.3

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.20.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.20.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.21

化简 ${(4 - x)}^{1} \cdot 2$ 。

$f' (x) = \frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.22

将 $2$ 移到 $4 - x$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.23

化简。

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解题步骤 2.1.1.23.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{- x + 2 \cdot 4 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.23.2

化简分子。

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解题步骤 2.1.1.23.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.23.2.1.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = \frac{- x + 8 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.23.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{- x + 8 - 2 x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.23.2.2

从 $- x$ 中减去 $2 x$ 。

$f' (x) = \frac{- 3 x + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.23.3

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{- (3 x) + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.23.4

将 $8$ 重写为 $- 1 (- 8)$ 。

$f' (x) = \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.23.5

从 $- (3 x) - 1 (- 8)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{- (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.23.6

将 $- (3 x - 8)$ 重写为 $- 1 (3 x - 8)$ 。

$f' (x) = \frac{- 1 (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.1.23.7

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- \frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x - 8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x - 8$ 且 $g (x) = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2.3

将 ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.3.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2.3.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.4

化简。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 x - 8) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.5

求微分。

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解题步骤 2.1.2.5.1

根据加法法则， $3 x - 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.5.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.5.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} (- 8)) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.5.5

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.5.6

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.5.6.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.5.6.2

将 $3$ 移到 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) \frac{d}{d x} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 4 - x$ 。

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解题步骤 2.1.2.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 - x$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.6.3

使用 $4 - x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.9

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.10

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.11

合并分数。

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解题步骤 2.1.2.11.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.12

根据加法法则， $4 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x)))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.13

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x)))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.14

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.15

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} - (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.16

乘。

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解题步骤 2.1.2.16.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + 1 (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.16.2

将 $3 x - 8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x)))}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}) \cdot 1}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.18

合并分数。

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解题步骤 2.1.2.18.1

将 $3 x - 8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{4 - x}$

解题步骤 2.1.2.18.2

将 $\frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{4 - x}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{(4 - x) \cdot 2}$

解题步骤 2.1.2.18.3

将 $2$ 移到 $4 - x$ 的左侧。

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot (4 - x)}$

解题步骤 2.1.2.19

化简。

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解题步骤 2.1.2.19.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{3 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} + (3 x - 8) (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}})}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.1.2.19.2

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.19.2.1

使 $u_{2} = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u_{2}$ 代入替换所有出现的 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.2.19.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 u_{2} u_{2}) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.1.2.19.2.1.2

通过指数相加将 $u_{2}$ 乘以 $u_{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.19.2.1.2.1

移动 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 (u_{2} u_{2})) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.1.2.19.2.1.2.2

将 $u_{2}$ 乘以 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{3 \cdot (2 {u_{2}}^{2}) + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.1.2.19.2.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {u_{2}}^{2} + 3 x - 8}{2 u_{2}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.1.2.19.2.2

使用 ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.1.2.19.2.3

化简。

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解题步骤 2.1.2.19.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.19.2.3.1.1

将 ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.2.19.2.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.1.2.19.2.3.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.19.2.3.1.1.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.1.2.19.2.3.1.1.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (4 - x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.1.2.19.2.3.1.2

化简。

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 (4 - x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.1.2.19.2.3.1.3

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{\frac{6 \cdot 4 + 6 (- x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.1.2.19.2.3.1.4

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 + 6 (- x) + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.1.2.19.2.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{24 - 6 x + 3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.1.2.19.2.3.2

从 $24$ 中减去 $8$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 6 x + 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.1.2.19.2.3.3

将 $- 6 x$ 和 $3 x$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 \cdot 4 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.1.2.19.3

合并项。

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解题步骤 2.1.2.19.3.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 + 2 (- x)}$

解题步骤 2.1.2.19.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 - 2 x}$

解题步骤 2.1.2.19.3.3

将 $\frac{\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{8 - 2 x}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = - (\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{8 - 2 x})$

解题步骤 2.1.2.19.3.4

将 $\frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{8 - 2 x}$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (8 - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.19.4

化简分母。

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解题步骤 2.1.2.19.4.1

从 $8 - 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.1.2.19.4.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4) - 2 x)}$

解题步骤 2.1.2.19.4.1.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4) + 2 (- x))}$

解题步骤 2.1.2.19.4.1.3

从 $2 (4) + 2 (- x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 (4 - x))}$

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (4 - x))}$

解题步骤 2.1.2.19.4.2

合并指数。

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解题步骤 2.1.2.19.4.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (4 - x)}$

解题步骤 2.1.2.19.4.2.2

对 $4 - x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 ((4 - x) {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 2.1.2.19.4.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.19.4.2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.19.4.2.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.19.4.2.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{- 3 x + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.19.5

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) + 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.19.6

将 $16$ 重写为 $- 1 (- 16)$ 。

$f'' (x) = - \frac{- (3 x) - 1 \cdot - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.19.7

从 $- (3 x) - 1 (- 16)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{- (3 x - 16)}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.19.8

将 $- (3 x - 16)$ 重写为 $- 1 (3 x - 16)$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 1 (3 x - 16)}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.19.9

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.19.10

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 2.1.2.19.11

将 $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 2.2.2

将分子设为等于零。

$3 x - 16 = 0$

解题步骤 2.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.2.3.1

在等式两边都加上 $16$ 。

$3 x = 16$

解题步骤 2.2.3.2

将 $3 x = 16$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.2.3.2.1

将 $3 x = 16$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

解题步骤 2.2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.3.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

解题步骤 2.2.3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{16}{3}$

解题步骤 2.2.4

排除不能使 $\frac{3 x - 16}{4 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 3

求 $f (x) = x \sqrt{4 - x}$ 的定义域。

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解题步骤 3.1

将 $\sqrt{4 - x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$4 - x \geq 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.1

从不等式两边同时减去 $4$ 。

$- x \geq - 4$

解题步骤 3.2.2

将 $- x \geq - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $- x \geq - 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 3.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{- 4}{- 1}$

解题步骤 3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 1$ 。

$x \leq 4$

解题步骤 3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 4]$

集合符号：

${x | x \leq 4}$

区间计数法：

$(- \infty, 4]$

集合符号：

${x | x \leq 4}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, 4]$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, 4]$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{3 (0) - 16}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

从 $3 (0)$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) - 16}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.2

从 $- 16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0)) + 4 \cdot - 4}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.3

从 $4 (3 \cdot (0)) + 4 (- 4)$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) - 4)}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.4

约去公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) - 4)}{4 ({(4 - (0))}^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 5.2.4.2

约去公因数。

$f'' (0) = \frac{4 (3 \cdot (0) - 4)}{4 {(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.4.3

重写表达式。

$f'' (0) = \frac{3 \cdot (0) - 4}{{(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.5

化简分子。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{0 - 4}{{(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.5.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$f'' (0) = \frac{- 4}{{(4 - (0))}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.6

化简分母。

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解题步骤 5.2.6.1

从 $4$ 中减去 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{- 4}{4^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.6.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f'' (0) = \frac{- 4}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 5.2.6.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (0) = \frac{- 4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 5.2.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.4.1

约去公因数。

$f'' (0) = \frac{- 4}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 5.2.6.4.2

重写表达式。

$f'' (0) = \frac{- 4}{2^{3}}$

解题步骤 5.2.6.5

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0) = \frac{- 4}{8}$

解题步骤 5.2.7

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.7.1

约去 $- 4$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.7.1.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (0) = \frac{4 (- 1)}{8}$

解题步骤 5.2.7.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.7.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.7.1.2.2

约去公因数。

$f'' (0) = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.7.1.2.3

重写表达式。

$f'' (0) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2.7.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (0) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.8

最终答案为 $- \frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, 4]$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \infty, 4]$ 上为向下凹

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例