微积分学 示例

求凹凸性 f(x)=x 3-x 的平方根
解题步骤 1
Find the values where the second derivative is equal to .
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解题步骤 1.1
求二阶导数。
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解题步骤 1.1.1
求一阶导数。
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解题步骤 1.1.1.1
使用 ,将 重写成
解题步骤 1.1.1.2
使用乘积法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.3
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
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解题步骤 1.1.1.3.1
要使用链式法则,请将 设为
解题步骤 1.1.1.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.3.3
使用 替换所有出现的
解题步骤 1.1.1.4
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 1.1.1.5
组合
解题步骤 1.1.1.6
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.1.1.7
化简分子。
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解题步骤 1.1.1.7.1
乘以
解题步骤 1.1.1.7.2
中减去
解题步骤 1.1.1.8
合并分数。
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解题步骤 1.1.1.8.1
将负号移到分数的前面。
解题步骤 1.1.1.8.2
组合
解题步骤 1.1.1.8.3
使用负指数规则 移动到分母。
解题步骤 1.1.1.8.4
组合
解题步骤 1.1.1.9
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.1.10
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 1.1.1.11
相加。
解题步骤 1.1.1.12
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.1.1.13
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.14
合并分数。
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解题步骤 1.1.1.14.1
乘以
解题步骤 1.1.1.14.2
组合
解题步骤 1.1.1.14.3
化简表达式。
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解题步骤 1.1.1.14.3.1
移到 的左侧。
解题步骤 1.1.1.14.3.2
重写为
解题步骤 1.1.1.14.3.3
将负号移到分数的前面。
解题步骤 1.1.1.15
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.1.16
乘以
解题步骤 1.1.1.17
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 1.1.1.18
组合
解题步骤 1.1.1.19
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.1.1.20
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 1.1.1.20.1
移动
解题步骤 1.1.1.20.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.1.1.20.3
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.1.1.20.4
相加。
解题步骤 1.1.1.20.5
除以
解题步骤 1.1.1.21
化简
解题步骤 1.1.1.22
移到 的左侧。
解题步骤 1.1.1.23
化简。
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解题步骤 1.1.1.23.1
运用分配律。
解题步骤 1.1.1.23.2
化简分子。
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解题步骤 1.1.1.23.2.1
化简每一项。
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解题步骤 1.1.1.23.2.1.1
乘以
解题步骤 1.1.1.23.2.1.2
乘以
解题步骤 1.1.1.23.2.2
中减去
解题步骤 1.1.1.23.3
中分解出因数
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解题步骤 1.1.1.23.3.1
中分解出因数
解题步骤 1.1.1.23.3.2
中分解出因数
解题步骤 1.1.1.23.3.3
中分解出因数
解题步骤 1.1.1.23.4
中分解出因数
解题步骤 1.1.1.23.5
重写为
解题步骤 1.1.1.23.6
中分解出因数
解题步骤 1.1.1.23.7
重写为
解题步骤 1.1.1.23.8
将负号移到分数的前面。
解题步骤 1.1.2
求二阶导数。
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解题步骤 1.1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.1.2.2
使用除法定则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.2.3
中的指数相乘。
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解题步骤 1.1.2.3.1
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 1.1.2.3.2
约去 的公因数。
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解题步骤 1.1.2.3.2.1
约去公因数。
解题步骤 1.1.2.3.2.2
重写表达式。
解题步骤 1.1.2.4
化简。
解题步骤 1.1.2.5
求微分。
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解题步骤 1.1.2.5.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.2.5.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.2.5.3
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 1.1.2.5.4
化简表达式。
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解题步骤 1.1.2.5.4.1
相加。
解题步骤 1.1.2.5.4.2
乘以
解题步骤 1.1.2.6
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
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解题步骤 1.1.2.6.1
要使用链式法则,请将 设为
解题步骤 1.1.2.6.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.2.6.3
使用 替换所有出现的
解题步骤 1.1.2.7
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 1.1.2.8
组合
解题步骤 1.1.2.9
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.1.2.10
化简分子。
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解题步骤 1.1.2.10.1
乘以
解题步骤 1.1.2.10.2
中减去
解题步骤 1.1.2.11
合并分数。
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解题步骤 1.1.2.11.1
将负号移到分数的前面。
解题步骤 1.1.2.11.2
组合
解题步骤 1.1.2.11.3
使用负指数规则 移动到分母。
解题步骤 1.1.2.12
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.2.13
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 1.1.2.14
相加。
解题步骤 1.1.2.15
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.1.2.16
乘。
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解题步骤 1.1.2.16.1
乘以
解题步骤 1.1.2.16.2
乘以
解题步骤 1.1.2.17
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.1.2.18
合并分数。
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解题步骤 1.1.2.18.1
乘以
解题步骤 1.1.2.18.2
乘以
解题步骤 1.1.2.18.3
重新排序。
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解题步骤 1.1.2.18.3.1
移到 的左侧。
解题步骤 1.1.2.18.3.2
移到 的左侧。
解题步骤 1.1.2.19
化简。
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解题步骤 1.1.2.19.1
运用分配律。
解题步骤 1.1.2.19.2
运用分配律。
解题步骤 1.1.2.19.3
化简分子。
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解题步骤 1.1.2.19.3.1
中分解出因数
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解题步骤 1.1.2.19.3.1.1
中分解出因数
解题步骤 1.1.2.19.3.1.2
中分解出因数
解题步骤 1.1.2.19.3.1.3
中分解出因数
解题步骤 1.1.2.19.3.2
使 。用 代入替换所有出现的
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解题步骤 1.1.2.19.3.2.1
使用乘法的交换性质重写。
解题步骤 1.1.2.19.3.2.2
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 1.1.2.19.3.2.2.1
移动
解题步骤 1.1.2.19.3.2.2.2
乘以
解题步骤 1.1.2.19.3.3
使用 替换所有出现的
解题步骤 1.1.2.19.3.4
化简。
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解题步骤 1.1.2.19.3.4.1
化简每一项。
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解题步骤 1.1.2.19.3.4.1.1
中的指数相乘。
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解题步骤 1.1.2.19.3.4.1.1.1
运用幂法则并将指数相乘,
解题步骤 1.1.2.19.3.4.1.1.2
约去 的公因数。
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解题步骤 1.1.2.19.3.4.1.1.2.1
约去公因数。
解题步骤 1.1.2.19.3.4.1.1.2.2
重写表达式。
解题步骤 1.1.2.19.3.4.1.2
化简。
解题步骤 1.1.2.19.3.4.1.3
运用分配律。
解题步骤 1.1.2.19.3.4.1.4
乘以
解题步骤 1.1.2.19.3.4.1.5
乘以
解题步骤 1.1.2.19.3.4.2
中减去
解题步骤 1.1.2.19.3.4.3
相加。
解题步骤 1.1.2.19.4
合并项。
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解题步骤 1.1.2.19.4.1
组合
解题步骤 1.1.2.19.4.2
乘以
解题步骤 1.1.2.19.4.3
乘以
解题步骤 1.1.2.19.4.4
重写为乘积形式。
解题步骤 1.1.2.19.4.5
乘以
解题步骤 1.1.2.19.5
化简分母。
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解题步骤 1.1.2.19.5.1
中分解出因数
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解题步骤 1.1.2.19.5.1.1
中分解出因数
解题步骤 1.1.2.19.5.1.2
中分解出因数
解题步骤 1.1.2.19.5.1.3
中分解出因数
解题步骤 1.1.2.19.5.2
合并指数。
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解题步骤 1.1.2.19.5.2.1
乘以
解题步骤 1.1.2.19.5.2.2
进行 次方运算。
解题步骤 1.1.2.19.5.2.3
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 1.1.2.19.5.2.4
写成具有公分母的分数。
解题步骤 1.1.2.19.5.2.5
在公分母上合并分子。
解题步骤 1.1.2.19.5.2.6
相加。
解题步骤 1.1.2.19.6
中分解出因数
解题步骤 1.1.2.19.7
重写为
解题步骤 1.1.2.19.8
中分解出因数
解题步骤 1.1.2.19.9
重写为
解题步骤 1.1.2.19.10
将负号移到分数的前面。
解题步骤 1.1.2.19.11
乘以
解题步骤 1.1.2.19.12
乘以
解题步骤 1.1.3
的二阶导数是
解题步骤 1.2
使二阶导数等于 ,然后求解方程
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解题步骤 1.2.1
将二阶导数设为等于
解题步骤 1.2.2
将分子设为等于零。
解题步骤 1.2.3
求解 的方程。
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解题步骤 1.2.3.1
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 1.2.3.1.1
中的每一项都除以
解题步骤 1.2.3.1.2
化简左边。
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解题步骤 1.2.3.1.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 1.2.3.1.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 1.2.3.1.2.1.2
除以
解题步骤 1.2.3.1.3
化简右边。
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解题步骤 1.2.3.1.3.1
除以
解题步骤 1.2.3.2
在等式两边都加上
解题步骤 1.2.4
排除不能使 成立的解。
解题步骤 2
的定义域。
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解题步骤 2.1
的被开方数设为大于或等于 ,以求使表达式有意义的区间。
解题步骤 2.2
求解
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解题步骤 2.2.1
从不等式两边同时减去
解题步骤 2.2.2
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 2.2.2.1
中的每一项除以 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时,应改变不等号的方向。
解题步骤 2.2.2.2
化简左边。
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解题步骤 2.2.2.2.1
将两个负数相除得到一个正数。
解题步骤 2.2.2.2.2
除以
解题步骤 2.2.2.3
化简右边。
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解题步骤 2.2.2.3.1
除以
解题步骤 2.3
定义域为使表达式有定义的所有值
区间计数法:
集合符号:
区间计数法:
集合符号:
解题步骤 3
在二阶导数为零或无意义的 值附近建立区间。
解题步骤 4
将区间 内的任意数代入二阶导数中并计算,以判断该函数的凹凸性。
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解题步骤 4.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 4.2
化简结果。
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解题步骤 4.2.1
中分解出因数
解题步骤 4.2.2
约去公因数。
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解题步骤 4.2.2.1
中分解出因数
解题步骤 4.2.2.2
约去公因数。
解题步骤 4.2.2.3
重写表达式。
解题步骤 4.2.3
中减去
解题步骤 4.2.4
中减去
解题步骤 4.2.5
乘以
解题步骤 4.2.6
将负号移到分数的前面。
解题步骤 4.2.7
使用负指数规则 移动到分母。
解题步骤 4.2.8
通过指数相加将 乘以
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解题步骤 4.2.8.1
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 4.2.8.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 4.2.8.3
组合
解题步骤 4.2.8.4
在公分母上合并分子。
解题步骤 4.2.8.5
化简分子。
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解题步骤 4.2.8.5.1
乘以
解题步骤 4.2.8.5.2
中减去
解题步骤 4.2.9
最终答案为
解题步骤 4.3
图像在区间 上向下凹,因为 为负数。
由于 为负,在 上为向下凹
由于 为负,在 上为向下凹
解题步骤 5