微积分学示例

$f (x) = 10 x^{3} - 3 x^{5}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $10 x^{3} - 3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [10 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$f' (x) = 30 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$f' (x) = 30 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{5}$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f' (x) = 30 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = 30 x^{2} - 15 x^{4}$

解题步骤 1.1.1.4

重新排序项。

$f' (x) = - 15 x^{4} + 30 x^{2}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $- 15 x^{4} + 30 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 15 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = - 15 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.2.3

将 $4$ 乘以 $- 15$ 。

$f'' (x) = - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (30 x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [30 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $30 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 30 \frac{d}{d x} (x^{2})$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 30 (2 x)$

解题步骤 1.1.2.3.3

将 $2$ 乘以 $30$ 。

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 60 x$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- 60 x^{3} + 60 x$ 。

$- 60 x^{3} + 60 x$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 60 x^{3} + 60 x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- 60 x^{3} + 60 x = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $- 60 x^{3} + 60 x$ 中分解出因数 $- 60 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $- 60 x^{3}$ 中分解出因数 $- 60 x$ 。

$- 60 x \cdot x^{2} + 60 x = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $60 x$ 中分解出因数 $- 60 x$ 。

$- 60 x \cdot x^{2} - 60 x \cdot - 1 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

从 $- 60 x (x^{2}) - 60 x (- 1)$ 中分解出因数 $- 60 x$ 。

$- 60 x (x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$- 60 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

因数。

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解题步骤 1.2.2.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$- 60 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

解题步骤 1.2.2.3.2

去掉多余的括号。

$- 60 x (x + 1) (x - 1) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.6

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.2.7

最终解为使 $- 60 x (x + 1) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 1, 1$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = - 60 {(- 4)}^{3} + 60 (- 4)$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 4) = - 60 \cdot - 64 + 60 (- 4)$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 60$ 乘以 $- 64$ 。

$f'' (- 4) = 3840 + 60 (- 4)$

解题步骤 4.2.1.3

将 $60$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (- 4) = 3840 - 240$

解题步骤 4.2.2

从 $3840$ 中减去 $240$ 。

$f'' (- 4) = 3600$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $3600$ 。

$3600$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - 1)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(- 1, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.5$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.5) = - 60 {(- 0.5)}^{3} + 60 (- 0.5)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 0.5) = - 60 \cdot - 0.125 + 60 (- 0.5)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 60$ 乘以 $- 0.125$ 。

$f'' (- 0.5) = 7.5 + 60 (- 0.5)$

解题步骤 5.2.1.3

将 $60$ 乘以 $- 0.5$ 。

$f'' (- 0.5) = 7.5 - 30$

解题步骤 5.2.2

从 $7.5$ 中减去 $30$ 。

$f'' (- 0.5) = - 22.5$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 22.5$ 。

$- 22.5$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- 1, 0)$ 上向下凹，因为 $f'' (- 0.5)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 1, 0)$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(0, 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0.5$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.5) = - 60 {(0.5)}^{3} + 60 (0.5)$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (0.5) = - 60 \cdot 0.125 + 60 (0.5)$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 60$ 乘以 $0.125$ 。

$f'' (0.5) = - 7.5 + 60 (0.5)$

解题步骤 6.2.1.3

将 $60$ 乘以 $0.5$ 。

$f'' (0.5) = - 7.5 + 30$

解题步骤 6.2.2

将 $- 7.5$ 和 $30$ 相加。

$f'' (0.5) = 22.5$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $22.5$ 。

$22.5$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(0, 1)$ 上向上凹，因为 $f'' (0.5)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, 1)$ 上为向上凹

解题步骤 7

将区间 $(1, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = - 60 {(4)}^{3} + 60 (4)$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (4) = - 60 \cdot 64 + 60 (4)$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 60$ 乘以 $64$ 。

$f'' (4) = - 3840 + 60 (4)$

解题步骤 7.2.1.3

将 $60$ 乘以 $4$ 。

$f'' (4) = - 3840 + 240$

解题步骤 7.2.2

将 $- 3840$ 和 $240$ 相加。

$f'' (4) = - 3600$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 3600$ 。

$- 3600$

解题步骤 7.3

图像在区间 $(1, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (4)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(1, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 8

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 1, 0)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(0, 1)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(1, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 9

微积分学 示例

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