微积分学示例

$e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

解题步骤 1

将 $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ 。

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解题步骤 2.1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- \frac{x^{2}}{32}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

解题步骤 2.1.1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

解题步骤 2.1.1.1.3

使用 $- \frac{x^{2}}{32}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]$

解题步骤 2.1.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $- \frac{1}{32}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{2}}{32}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.1.1.2.2

组合 $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ 和 $\frac{1}{32}$ 。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x)$

解题步骤 2.1.1.2.4

化简项。

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解题步骤 2.1.1.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

解题步骤 2.1.1.2.4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ 。

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x$

解题步骤 2.1.1.2.4.3

组合 $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{32}$

解题步骤 2.1.1.2.4.4

约去 $- 2$ 和 $32$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.4.4.1

从 $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{32}$

解题步骤 2.1.1.2.4.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.1.2.4.4.2.1

从 $32$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 (16)}$

解题步骤 2.1.1.2.4.4.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x)}{2 \cdot 16}$

解题步骤 2.1.1.2.4.4.2.3

重写表达式。

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

解题步骤 2.1.1.2.4.5

化简表达式。

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解题步骤 2.1.1.2.4.5.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}} x}{16}$

解题步骤 2.1.1.2.4.5.2

将 $e^{- \frac{x^{2}}{32}} x$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $- \frac{1}{16}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$ 。

$- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{32}}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ 。

$- \frac{1}{16} (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{32}}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - \frac{x^{2}}{32}$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- \frac{x^{2}}{32}$ 。

$- \frac{1}{16} (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$- \frac{1}{16} (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.3.3

使用 $- \frac{x^{2}}{32}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{32}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4

求微分。

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解题步骤 2.1.2.4.1

因为 $- \frac{1}{32}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{2}}{32}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{1}{16} (x (e^{- \frac{x^{2}}{32}} (- \frac{1}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 2.1.2.4.2.1

组合 $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ 和 $\frac{1}{32}$ 。

$- \frac{1}{16} (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4.2.2

组合 $x$ 和 $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ 。

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{1}{16} (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4.4

合并分数。

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解题步骤 2.1.2.4.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{1}{16} (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4.4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{32}$ 。

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} x + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4.4.3

组合 $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32}$ 和 $x$ 。

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{32}}) x}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.8

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{16} (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.8.2

约去 $- 2$ 和 $32$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.8.2.1

从 $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{32} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.8.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.8.2.2.1

从 $32$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 (16)} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.8.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{1}{16} (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}})}{2 \cdot 16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.8.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{16} (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.8.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}} \cdot 1)$

解题步骤 2.1.2.10

将 $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} + e^{- \frac{x^{2}}{32}})$

解题步骤 2.1.2.11

化简。

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解题步骤 2.1.2.11.1

运用分配律。

$- \frac{1}{16} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}) - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

解题步骤 2.1.2.11.2

合并项。

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解题步骤 2.1.2.11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{16}) \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

解题步骤 2.1.2.11.2.2

将 $\frac{1}{16}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{16} \cdot \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

解题步骤 2.1.2.11.2.3

将 $\frac{1}{16}$ 乘以 $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ 。

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16 \cdot 16} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

解题步骤 2.1.2.11.2.4

将 $16$ 乘以 $16$ 。

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{1}{16} e^{- \frac{x^{2}}{32}}$

解题步骤 2.1.2.11.2.5

组合 $e^{- \frac{x^{2}}{32}}$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$ 。

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{32}}}{16} = 0$

解题步骤 2.2.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x = - 4, 4$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 4) \cup (4, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 4)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2} e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ 移动到分母。

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 5.2.1.2

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 5.2.1.4

约去 $36$ 和 $32$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.4.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 5.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1.4.2.1

从 $32$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 5.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 5.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f'' (- 6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 5.2.1.5

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 5.2.1.6

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1.6.1

从 $256 e^{\frac{9}{8}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- 6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 5.2.1.6.2

约去公因数。

$f'' (- 6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 5.2.1.6.3

重写表达式。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 5.2.1.7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- \frac{{(- 6)}^{2}}{32}}$ 移动到分母。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{{(- 6)}^{2}}{32}}}$

解题步骤 5.2.1.8

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

解题步骤 5.2.1.9

约去 $36$ 和 $32$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.9.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

解题步骤 5.2.1.9.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1.9.2.1

从 $32$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

解题步骤 5.2.1.9.2.2

约去公因数。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

解题步骤 5.2.1.9.2.3

重写表达式。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

解题步骤 5.2.2

要将 $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 5.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $64 e^{\frac{9}{8}}$ 的形式。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$f'' (- 6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

解题步骤 5.2.4

在公分母上合并分子。

$f'' (- 6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

解题步骤 5.2.5

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$f'' (- 6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

解题步骤 5.2.6

最终答案为 $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ 。

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, - 4)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 6)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 4)$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(- 4, 4)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = \frac{{(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{0^{2} e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 6.2.1.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{0 e^{- \frac{0}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 6.2.1.2.2

用 $0$ 除以 $32$ 。

$f'' (0) = \frac{0 e^{- 0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 6.2.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = \frac{0 e^{0}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 6.2.1.2.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f'' (0) = \frac{0 \cdot 1}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = \frac{0}{256} - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 6.2.1.4

用 $0$ 除以 $256$ 。

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{{(0)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 6.2.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- \frac{0}{32}}}{16}$

解题步骤 6.2.1.6

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.6.1

用 $0$ 除以 $32$ 。

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{- 0}}{16}$

解题步骤 6.2.1.6.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - \frac{e^{0}}{16}$

解题步骤 6.2.1.6.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$f'' (0) = 0 - \frac{1}{16}$

解题步骤 6.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{16}$ 。

$f'' (0) = - \frac{1}{16}$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{16}$ 。

$- \frac{1}{16}$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(- 4, 4)$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 4, 4)$ 上为向下凹

解题步骤 7

将区间 $(4, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2} e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{256} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ 移动到分母。

$f'' (6) = \frac{{(6)}^{2}}{256 e^{\frac{6^{2}}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 7.2.1.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (6) = \frac{6^{2}}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 7.2.1.3

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{36}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 7.2.1.4

约去 $36$ 和 $32$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.4.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 (9)}{32}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 7.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.1.4.2.1

从 $32$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 7.2.1.4.2.2

约去公因数。

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 7.2.1.4.2.3

重写表达式。

$f'' (6) = \frac{36}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 7.2.1.5

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{256 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 7.2.1.6

约去公因数。

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解题步骤 7.2.1.6.1

从 $256 e^{\frac{9}{8}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (6) = \frac{4 (9)}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 7.2.1.6.2

约去公因数。

$f'' (6) = \frac{4 \cdot 9}{4 (64 e^{\frac{9}{8}})} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 7.2.1.6.3

重写表达式。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}}{16}$

解题步骤 7.2.1.7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $e^{- \frac{{(6)}^{2}}{32}}$ 移动到分母。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{6^{2}}{32}}}$

解题步骤 7.2.1.8

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{36}{32}}}$

解题步骤 7.2.1.9

约去 $36$ 和 $32$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.9.1

从 $36$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 (9)}{32}}}$

解题步骤 7.2.1.9.2

约去公因数。

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解题步骤 7.2.1.9.2.1

从 $32$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

解题步骤 7.2.1.9.2.2

约去公因数。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{4 \cdot 9}{4 \cdot 8}}}$

解题步骤 7.2.1.9.2.3

重写表达式。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$

解题步骤 7.2.2

要将 $- \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 7.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $64 e^{\frac{9}{8}}$ 的形式。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $\frac{1}{16 e^{\frac{9}{8}}}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{16 e^{\frac{9}{8}} \cdot 4}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $4$ 乘以 $16$ 。

$f'' (6) = \frac{9}{64 e^{\frac{9}{8}}} - \frac{4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

解题步骤 7.2.4

在公分母上合并分子。

$f'' (6) = \frac{9 - 4}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

解题步骤 7.2.5

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$f'' (6) = \frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

解题步骤 7.2.6

最终答案为 $\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$ 。

$\frac{5}{64 e^{\frac{9}{8}}}$

解题步骤 7.3

图像在区间 $(4, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (6)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(4, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 4)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 4, 4)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(4, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例