微积分学示例

$y = 2 x^{3} - 24 x - 5$

解题步骤 1

将 $y = 2 x^{3} - 24 x - 5$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 5$

解题步骤 2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $2 x^{3} - 24 x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 2.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 2.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 2.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 x^{2} - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$6 x^{2} - 24 + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.4.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 x^{2} - 24 + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $6 x^{2} - 24$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 6 x^{2} - 24$

解题步骤 2.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $6 x^{2} - 24$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$ 。

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$

解题步骤 2.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24]$

解题步骤 2.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24]$

解题步骤 2.2.2.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$12 x + \frac{d}{d x} [- 24]$

解题步骤 2.2.3

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.3.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 x + 0$

解题步骤 2.2.3.2

将 $12 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 12 x$

解题步骤 2.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 x$ 。

$12 x$

解题步骤 3

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 x = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 x = 0$

解题步骤 3.2

将 $12 x = 0$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $12 x = 0$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

约去 $12$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{12}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.3.1

用 $0$ 除以 $12$ 。

$x = 0$

解题步骤 4

求二阶导数为 $0$ 的点。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 5$ 以求 $y$ 的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = 2 {(0)}^{3} - 24 \cdot 0 - 5$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 2 \cdot 0 - 24 \cdot 0 - 5$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 - 24 \cdot 0 - 5$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $- 24$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 5$

解题步骤 4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 - 5$

解题步骤 4.1.2.2.2

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$f (0) = - 5$

解题步骤 4.1.2.3

最终答案为 $- 5$ 。

$- 5$

解题步骤 4.2

通过将 $0$ 代入 $f (x) = 2 x^{3} - 24 x - 5$ 中求得的点为 $(0, - 5)$ 。这个点可能是一个拐点。

$(0, - 5)$

解题步骤 5

分解 $(- \infty, \infty)$ 到各点周围的区间中，这些点有可能是拐点。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.1) = 12 (- 0.1)$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

将 $12$ 乘以 $- 0.1$ 。

$f'' (- 0.1) = - 1.2$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $- 1.2$ 。

$- 1.2$

解题步骤 6.3

在 $- 0.1$ ，二阶导数为 $- 1.2$ 。因为该值是负数，所以该二阶导数在区间 $(- \infty, 0)$ 上递减

因为 $f'' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入二阶导数以判断它是递增还是递减。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0.1$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.1) = 12 (0.1)$

解题步骤 7.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

将 $12$ 乘以 $0.1$ 。

$f'' (0.1) = 1.2$

解题步骤 7.2.2

最终答案为 $1.2$ 。

$1.2$

解题步骤 7.3

在 $0.1$ 处，二阶导数为 $1.2$ 。由于其值为正，二阶导数在区间 $(0, \infty)$ 上递增。

因为 $f'' (x) > 0$ ，所以函数在 $(0, \infty)$ 上递增

解题步骤 8

曲线上的拐点是该曲线凹凸性符号由正变为负或由负变为正时的点。本例中，拐点为 $(0, - 5)$ 。

$(0, - 5)$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例