微积分学示例

${(x^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 1

将 ${(x^{2} - 1)}^{3}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 2.1

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 2.1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 2.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 2.1.1.1.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 2.1.1.2

求微分。

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解题步骤 2.1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 2.1.1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)$

解题步骤 2.1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.1.1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)$

解题步骤 2.1.1.2.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$

解题步骤 2.1.1.2.4.3

重新排序 $6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ 的因式。

$f' (x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ 。

$6 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}] + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 2.1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$6 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.3.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4

求微分。

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解题步骤 2.1.2.4.1

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4.4

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.4.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.4.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$6 (x (4 (x^{2} - 1) x) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 (x^{1} x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 (x^{1} x^{1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 (x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1)$

解题步骤 2.1.2.10

将 ${(x^{2} - 1)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

解题步骤 2.1.2.11

化简。

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解题步骤 2.1.2.11.1

运用分配律。

$6 (x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

解题步骤 2.1.2.11.2

运用分配律。

$6 (x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

解题步骤 2.1.2.11.3

运用分配律。

$6 (x^{2} (4 x^{2})) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.11.4

合并项。

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解题步骤 2.1.2.11.4.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.11.4.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$6 (x^{2} x^{2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.11.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 (x^{2 + 2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.11.4.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$6 (x^{4} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.11.4.2

将 $4$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$6 (4 \cdot x^{4}) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.11.4.3

将 $4$ 乘以 $6$ 。

$24 x^{4} + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.11.4.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$24 x^{4} + 6 (x^{2} \cdot - 4) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.11.4.5

将 $- 4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$24 x^{4} + 6 (- 4 \cdot x^{2}) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.11.4.6

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.11.5

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.11.5.1

将 ${(x^{2} - 1)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1))$

解题步骤 2.1.2.11.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.2.11.5.2.1

运用分配律。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1))$

解题步骤 2.1.2.11.5.2.2

运用分配律。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1))$

解题步骤 2.1.2.11.5.2.3

运用分配律。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 2.1.2.11.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.11.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.11.5.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.11.5.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 2.1.2.11.5.3.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 2.1.2.11.5.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 2.1.2.11.5.3.1.3

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 2.1.2.11.5.3.1.4

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1)$

解题步骤 2.1.2.11.5.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1)$

解题步骤 2.1.2.11.5.3.2

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$

解题步骤 2.1.2.11.5.4

运用分配律。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} + 6 (- 2 x^{2}) + 6 \cdot 1$

解题步骤 2.1.2.11.5.5

化简。

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解题步骤 2.1.2.11.5.5.1

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

解题步骤 2.1.2.11.5.5.2

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6$

解题步骤 2.1.2.11.6

将 $24 x^{4}$ 和 $6 x^{4}$ 相加。

$30 x^{4} - 24 x^{2} - 12 x^{2} + 6$

解题步骤 2.1.2.11.7

从 $- 24 x^{2}$ 中减去 $12 x^{2}$ 。

$f'' (x) = 30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

解题步骤 2.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$ 。

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

解题步骤 2.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$

解题步骤 2.2.2

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$30 u^{2} - 36 u + 6 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 2.2.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.3.1

从 $30 u^{2} - 36 u + 6$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.1

从 $30 u^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (5 u^{2}) - 36 u + 6 = 0$

解题步骤 2.2.3.1.2

从 $- 36 u$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 = 0$

解题步骤 2.2.3.1.3

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u) + 6 (1) = 0$

解题步骤 2.2.3.1.4

从 $6 (5 u^{2}) + 6 (- 6 u)$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1) = 0$

解题步骤 2.2.3.1.5

从 $6 (5 u^{2} - 6 u) + 6 (1)$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

解题步骤 2.2.3.2

因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.3.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 5 \cdot 1 = 5$ 并且它们的和为 $b = - 6$ 。

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解题步骤 2.2.3.2.1.1.1

从 $- 6 u$ 中分解出因数 $- 6$ 。

$6 (5 u^{2} - 6 u + 1) = 0$

解题步骤 2.2.3.2.1.1.2

把 $- 6$ 重写为 $- 1$ 加 $- 5$

$6 (5 u^{2} + (- 1 - 5) u + 1) = 0$

解题步骤 2.2.3.2.1.1.3

运用分配律。

$6 (5 u^{2} - 1 u - 5 u + 1) = 0$

解题步骤 2.2.3.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.3.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$6 ((5 u^{2} - 1 u) - 5 u + 1) = 0$

解题步骤 2.2.3.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$6 (u (5 u - 1) - (5 u - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.3.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $5 u - 1$ 来因式分解多项式。

$6 ((5 u - 1) (u - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.3.2.2

去掉多余的括号。

$6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$

解题步骤 2.2.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$5 u - 1 = 0$

$u - 1 = 0$

解题步骤 2.2.5

将 $5 u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

将 $5 u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$5 u - 1 = 0$

解题步骤 2.2.5.2

求解 $u$ 的 $5 u - 1 = 0$ 。

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解题步骤 2.2.5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$5 u = 1$

解题步骤 2.2.5.2.2

将 $5 u = 1$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 2.2.5.2.2.1

将 $5 u = 1$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

解题步骤 2.2.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.5.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 u}{5} = \frac{1}{5}$

解题步骤 2.2.5.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{1}{5}$

解题步骤 2.2.6

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 2.2.6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

解题步骤 2.2.7

最终解为使 $6 (5 u - 1) (u - 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{1}{5}, 1$

解题步骤 2.2.8

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = \frac{1}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

解题步骤 2.2.9

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = \frac{1}{5}$

解题步骤 2.2.10

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.2.10.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{5}}$

解题步骤 2.2.10.2

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$ 。

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解题步骤 2.2.10.2.1

将 $\sqrt{\frac{1}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 2.2.10.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}$

解题步骤 2.2.10.2.3

将 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 2.2.10.2.4

合并和化简分母。

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解题步骤 2.2.10.2.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 2.2.10.2.4.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

解题步骤 2.2.10.2.4.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

解题步骤 2.2.10.2.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.2.10.2.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 2.2.10.2.4.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.2.10.2.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.10.2.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.10.2.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.10.2.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.10.2.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.10.2.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

解题步骤 2.2.10.2.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 2.2.10.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.10.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 2.2.10.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 2.2.10.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}$

解题步骤 2.2.11

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = 1$

解题步骤 2.2.12

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.2.12.1

去掉圆括号。

$x^{2} = 1$

解题步骤 2.2.12.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 2.2.12.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 2.2.12.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.12.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 2.2.12.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 2.2.12.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 2.2.13

$30 x^{4} - 36 x^{2} + 6 = 0$ 的解是 $x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$ 。

$x = \frac{\sqrt{5}}{5}, - \frac{\sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}) \cup (\frac{\sqrt{5}}{5}, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 5

将区间 $(- \infty, - 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 4) = 30 {(- 4)}^{4} - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 4) = 30 \cdot 256 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

解题步骤 5.2.1.2

将 $30$ 乘以 $256$ 。

$f'' (- 4) = 7680 - 36 {(- 4)}^{2} + 6$

解题步骤 5.2.1.3

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 36$ 乘以 $16$ 。

$f'' (- 4) = 7680 - 576 + 6$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $7680$ 中减去 $576$ 。

$f'' (- 4) = 7104 + 6$

解题步骤 5.2.2.2

将 $7104$ 和 $6$ 相加。

$f'' (- 4) = 7110$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $7110$ 。

$7110$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \infty, - 1)$ 上向上凹，因为 $f'' (- 4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.72$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 0.72) = 30 {(- 0.72)}^{4} - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $- 0.72$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (- 0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

解题步骤 6.2.1.2

将 $30$ 乘以 $0.26873856$ 。

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 {(- 0.72)}^{2} + 6$

解题步骤 6.2.1.3

对 $- 0.72$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

解题步骤 6.2.1.4

将 $- 36$ 乘以 $0.5184$ 。

$f'' (- 0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $8.0621568$ 中减去 $18.6624$ 。

$f'' (- 0.72) = - 10.6002432 + 6$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 10.6002432$ 和 $6$ 相加。

$f'' (- 0.72) = - 4.6002432$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- 4.6002432$ 。

$- 4.6002432$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ 上向下凹，因为 $f'' (- 0.72)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ 上为向下凹

解题步骤 7

将区间 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 30 {(0)}^{4} - 36 {(0)}^{2} + 6$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 30 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

解题步骤 7.2.1.2

将 $30$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

解题步骤 7.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 6$

解题步骤 7.2.1.4

将 $- 36$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = 0 + 0 + 6$

解题步骤 7.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = 0 + 6$

解题步骤 7.2.2.2

将 $0$ 和 $6$ 相加。

$f'' (0) = 6$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $6$ 。

$6$

解题步骤 7.3

图像在区间 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ 上为向上凹

解题步骤 8

将区间 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $0.72$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0.72) = 30 {(0.72)}^{4} - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

对 $0.72$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (0.72) = 30 \cdot 0.26873856 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

解题步骤 8.2.1.2

将 $30$ 乘以 $0.26873856$ 。

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 {(0.72)}^{2} + 6$

解题步骤 8.2.1.3

对 $0.72$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 36 \cdot 0.5184 + 6$

解题步骤 8.2.1.4

将 $- 36$ 乘以 $0.5184$ 。

$f'' (0.72) = 8.0621568 - 18.6624 + 6$

解题步骤 8.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.2.2.1

从 $8.0621568$ 中减去 $18.6624$ 。

$f'' (0.72) = - 10.6002432 + 6$

解题步骤 8.2.2.2

将 $- 10.6002432$ 和 $6$ 相加。

$f'' (0.72) = - 4.6002432$

解题步骤 8.2.3

最终答案为 $- 4.6002432$ 。

$- 4.6002432$

解题步骤 8.3

图像在区间 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ 上向下凹，因为 $f'' (0.72)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ 上为向下凹

解题步骤 9

将区间 $(1, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = 30 {(4)}^{4} - 36 {(4)}^{2} + 6$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (4) = 30 \cdot 256 - 36 {(4)}^{2} + 6$

解题步骤 9.2.1.2

将 $30$ 乘以 $256$ 。

$f'' (4) = 7680 - 36 {(4)}^{2} + 6$

解题步骤 9.2.1.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (4) = 7680 - 36 \cdot 16 + 6$

解题步骤 9.2.1.4

将 $- 36$ 乘以 $16$ 。

$f'' (4) = 7680 - 576 + 6$

解题步骤 9.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $7680$ 中减去 $576$ 。

$f'' (4) = 7104 + 6$

解题步骤 9.2.2.2

将 $7104$ 和 $6$ 相加。

$f'' (4) = 7110$

解题步骤 9.2.3

最终答案为 $7110$ 。

$7110$

解题步骤 9.3

图像在区间 $(1, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(1, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 10

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - 1)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- 1, - \frac{\sqrt{5}}{5})$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5})$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, 1)$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(1, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例