微积分学示例

$f (x) = x^{2} + 10 x - 9$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} + 10 x - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [10 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 9]$

解题步骤 1.1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 10 + 0$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $2 x + 10$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 x + 10$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

根据加法法则， $2 x + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.2.3.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.1.2.3.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $2$ 。

$2$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $2 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$2 = 0$

解题步骤 1.2.2

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

因为二阶导数是正数，所以图像向上凹。

图像向上凹

解题步骤 4

微积分学 示例

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