微积分学示例

f (x) = \frac{1}{x}

$f (x) = \frac{1}{x}$

解题步骤 1

Find the

$x$ values where the second derivative is equal to

$0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

将

$\frac{1}{x}$ 重写为

$x^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = - 1$ 。

$- x^{- 2}$

解题步骤 1.1.1.3

使用负指数规则

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中

$f (x) = - 1$ 且

$g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.2

求微分。

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解题步骤 1.1.2.2.1

将

$\frac{1}{x^{2}}$ 重写为

${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.2.2

将

${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.2.2.2

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = - 2$ 。

$- (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.2.4

将

$- 2$ 乘以

$- 1$ 。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.2.2.5

因为

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 1$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 1.1.2.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.2.6.1

将

$\frac{1}{x^{2}}$ 乘以

$0$ 。

$2 x^{- 3} + 0$

解题步骤 1.1.2.2.6.2

将

$2 x^{- 3}$ 和

$0$ 相加。

$2 x^{- 3}$

解题步骤 1.1.2.3

化简。

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解题步骤 1.1.2.3.1

使用负指数规则

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 \frac{1}{x^{3}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

组合

$2$ 和

$\frac{1}{x^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对

$x$ 的二阶导数是

$\frac{2}{x^{3}}$ 。

$\frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于

$0$ ，然后求解方程

$\frac{2}{x^{3}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于

$0$ 。

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为

$2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 2

求

$f (x) = \frac{1}{x}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将

$\frac{1}{x}$ 的分母设为等于

$0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 2.2

定义域为使表达式有定义的所有值

$x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的

$x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 4

将区间

$(- \infty, 0)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的

$- 2$ 替换变量

$x$ 。

$f'' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

约去

$2$ 和

${(- 2)}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

将

$2$ 重写为

$- 1 (- 2)$ 。

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2}{{(- 2)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.2

从

$- 1 (- 2)$ 中分解出因数

$- 2$ 。

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.3

约去公因数。

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解题步骤 4.2.1.3.1

从

${(- 2)}^{3}$ 中分解出因数

$- 2$ 。

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3.2

约去公因数。

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.1.3.3

重写表达式。

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1

对

$- 2$ 进行

$2$ 次方运算。

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{4}$

解题步骤 4.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 2) = - \frac{1}{4}$

解题步骤 4.2.3

最终答案为

$- \frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 4.3

图像在区间

$(- \infty, 0)$ 上向下凹，因为

$f'' (- 2)$ 为负数。

由于

$f'' (x)$ 为负，在

$(- \infty, 0)$ 上为向下凹

由于

$f'' (x)$ 为负，在

$(- \infty, 0)$ 上为向下凹

解题步骤 5

将区间

$(0, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的

$2$ 替换变量

$x$ 。

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

约去

$2$ 和

${(2)}^{3}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

从

$2$ 中分解出因数

$2$ 。

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1.2.1

从

${(2)}^{3}$ 中分解出因数

$2$ 。

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2.2

约去公因数。

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

解题步骤 5.2.1.2.3

重写表达式。

$f'' (2) = \frac{1}{2^{2}}$

解题步骤 5.2.2

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

解题步骤 5.2.3

最终答案为

$\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 5.3

图像在区间

$(0, \infty)$ 上向上凹，因为

$f'' (2)$ 为正数。

由于

$f'' (x)$ 为正，在

$(0, \infty)$ 上为向上凹

由于

$f'' (x)$ 为正，在

$(0, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 6

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于

$f'' (x)$ 为负，在

$(- \infty, 0)$ 上为向下凹

由于

$f'' (x)$ 为正，在

$(0, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

微积分学 示例

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