微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

将 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 重写为 ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(1 + x^{2})}^{- 1})$

解题步骤 1.1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

解题步骤 1.1.1.2.3

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.3.1

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 1.1.1.3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

解题步骤 1.1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = - {(1 + x^{2})}^{- 2} (2 x)$

解题步骤 1.1.1.3.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = - 2 {(1 + x^{2})}^{- 2} x$

解题步骤 1.1.1.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = - 2 \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

解题步骤 1.1.1.4.2

合并项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.4.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{- 2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

解题步骤 1.1.1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}} \cdot x$

解题步骤 1.1.1.4.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ 。

$f' (x) = - \frac{x \cdot 2}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.4.2.4

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(1 + x^{2})}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.1

将 ${({(1 + x^{2})}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.3.3

将 ${(1 + x^{2})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x \frac{d}{d x} {(1 + x^{2})}^{2}}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.4.3

使用 $1 + x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - x (2 (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{{(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.2

从 ${(1 + x^{2})}^{2} - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ 中分解出因数 $1 + x^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.5.2.1

从 ${(1 + x^{2})}^{2}$ 中分解出因数 $1 + x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) - 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.2.2

从 $- 2 x ((1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])$ 中分解出因数 $1 + x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.5.2.3

从 $(1 + x^{2}) (1 + x^{2}) + (1 + x^{2}) (- 2 x (\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]))$ 中分解出因数 $1 + x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{{(1 + x^{2})}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.6

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.6.1

从 ${(1 + x^{2})}^{4}$ 中分解出因数 $1 + x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.6.2

约去公因数。

$f'' (x) = - 2 \frac{(1 + x^{2}) (1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2})))}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.6.3

重写表达式。

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1 + x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.7

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (0 + \frac{d}{d x} (x^{2}))}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.9

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x \frac{d}{d x} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 2 x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.11

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.13

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 (x \cdot x)}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.15

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 2 \frac{1 + x^{2} - 4 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.16

从 $x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.17

组合 $- 2$ 和 $\frac{1 - 3 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.18

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{(2) (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.19

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.19.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{2 \cdot 1 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.19.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.19.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.19.2.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.19.3

从 $2 - 6 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.19.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (1) - 6 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.19.3.2

从 $- 6 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (1) + 2 (- 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.2.19.3.3

从 $2 (1) + 2 (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$ 。

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{2 (1 - 3 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$2 (1 - 3 x^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

将 $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1.1

将 $2 (1 - 3 x^{2}) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.3.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (1 - 3 x^{2})}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.3.1.2.1.2

用 $1 - 3 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$1 - 3 x^{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.3.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$1 - 3 x^{2} = 0$

解题步骤 1.2.3.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 3 x^{2} = - 1$

解题步骤 1.2.3.3

将 $- 3 x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.3.1

将 $- 3 x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

解题步骤 1.2.3.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.3.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

解题步骤 1.2.3.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

解题步骤 1.2.3.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.3.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x^{2} = \frac{1}{3}$

解题步骤 1.2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.2.3.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.5.1

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.3.5.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.3.5.3

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.3.5.4

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.5.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.3.5.4.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.3.5.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 1.2.3.5.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.3.5.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.5.4.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.5.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3.5.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.3.5.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.3.5.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.5.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.3.5.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 1.2.3.5.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 2

求 $f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$1 + x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 2.2.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 2.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 2.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 2.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 2.3

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 3 {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

通过指数相加将 $- 3$ 乘以 ${(- 3)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

将 $- 3$ 乘以 ${(- 3)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1.1

对 $- 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + (- 3) {(- 3)}^{2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{1 + 2})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 + {(- 3)}^{3})}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

解题步骤 4.2.2

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

解题步骤 4.2.2.2

从 $1$ 中减去 $27$ 。

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + {(- 3)}^{2})}^{3}}$

解题步骤 4.2.3

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $1$ 和 $9$ 相加。

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

解题步骤 4.2.3.3

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (- 3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

解题步骤 4.2.4

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 26$ 。

$f'' (- 3) = - \frac{- 52}{1000}$

解题步骤 4.2.4.2

约去 $- 52$ 和 $1000$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.2.1

从 $- 52$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- 3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

解题步骤 4.2.4.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.2.2.1

从 $1000$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

解题步骤 4.2.4.2.2.2

约去公因数。

$f'' (- 3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

解题步骤 4.2.4.2.2.3

重写表达式。

$f'' (- 3) = - \frac{- 13}{250}$

解题步骤 4.2.4.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (- 3) = \frac{13}{250}$

解题步骤 4.2.5

最终答案为 $\frac{13}{250}$ 。

$\frac{13}{250}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上向上凹，因为 $f'' (- 3)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 {(0)}^{2})}{{(1 + {(0)}^{2})}^{3}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$f'' (0) = - \frac{2 (1 + 0)}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0^{2})}^{3}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{{(1 + 0)}^{3}}$

解题步骤 5.2.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

解题步骤 5.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot 1}{1}$

解题步骤 5.2.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

解题步骤 5.2.3.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

解题步骤 5.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (0) = - 2$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $- 2$ 。

$- 2$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上向下凹，因为 $f'' (0)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上为向下凹

解题步骤 6

将区间 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 {(3)}^{2})}{{(1 + {(3)}^{2})}^{3}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 3 \cdot 9)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $9$ 。

$f'' (3) = - \frac{2 (1 - 27)}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

解题步骤 6.2.1.3

从 $1$ 中减去 $27$ 。

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 3^{2})}^{3}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{{(1 + 9)}^{3}}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $1$ 和 $9$ 相加。

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{10^{3}}$

解题步骤 6.2.2.3

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$f'' (3) = - \frac{2 \cdot - 26}{1000}$

解题步骤 6.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.1

将 $2$ 乘以 $- 26$ 。

$f'' (3) = - \frac{- 52}{1000}$

解题步骤 6.2.3.2

约去 $- 52$ 和 $1000$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.2.1

从 $- 52$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (3) = - \frac{4 (- 13)}{1000}$

解题步骤 6.2.3.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.2.2.1

从 $1000$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

解题步骤 6.2.3.2.2.2

约去公因数。

$f'' (3) = - \frac{4 \cdot - 13}{4 \cdot 250}$

解题步骤 6.2.3.2.2.3

重写表达式。

$f'' (3) = - \frac{- 13}{250}$

解题步骤 6.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (3) = \frac{13}{250}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $\frac{13}{250}$ 。

$\frac{13}{250}$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (3)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ 上为向下凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例