微积分学示例

$f (x) = {(x - 5)}^{4}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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解题步骤 1.1

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 5$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.1.1.1.3

使用 $x - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 {(x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 5]$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$4 {(x - 5)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 {(x - 5)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.1.1.2.3

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 {(x - 5)}^{3} (1 + 0)$

解题步骤 1.1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 {(x - 5)}^{3} \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.2.4.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 4 {(x - 5)}^{3}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 {(x - 5)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{3}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

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解题步骤 1.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 5$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

解题步骤 1.1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

解题步骤 1.1.2.2.3

使用 $x - 5$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (3 {(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

解题步骤 1.1.2.3

求微分。

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解题步骤 1.1.2.3.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 ({(x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

解题步骤 1.1.2.3.2

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$12 {(x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.1.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 {(x - 5)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

解题步骤 1.1.2.3.4

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$12 {(x - 5)}^{2} (1 + 0)$

解题步骤 1.1.2.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.2.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$12 {(x - 5)}^{2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.3.5.2

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 12 {(x - 5)}^{2}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $12 {(x - 5)}^{2}$ 。

$12 {(x - 5)}^{2}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $12 {(x - 5)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$12 {(x - 5)}^{2} = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $12 {(x - 5)}^{2} = 0$ 中的每一项除以 $12$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $12 {(x - 5)}^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $12$ 。

$\frac{12 {(x - 5)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{12 {(x - 5)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

用 ${(x - 5)}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(x - 5)}^{2} = \frac{0}{12}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

用 $0$ 除以 $12$ 。

${(x - 5)}^{2} = 0$

解题步骤 1.2.3

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 1.2.4

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, 5)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = 12 {((0) - 5)}^{2}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$f'' (0) = 12 {(- 5)}^{2}$

解题步骤 4.2.2

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (0) = 12 \cdot 25$

解题步骤 4.2.3

将 $12$ 乘以 $25$ 。

$f'' (0) = 300$

解题步骤 4.2.4

最终答案为 $300$ 。

$300$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, 5)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 5)$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(5, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $8$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (8) = 12 {((8) - 5)}^{2}$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

从 $8$ 中减去 $5$ 。

$f'' (8) = 12 \cdot 3^{2}$

解题步骤 5.2.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f'' (8) = 12 \cdot 9$

解题步骤 5.2.3

将 $12$ 乘以 $9$ 。

$f'' (8) = 108$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $108$ 。

$108$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(5, \infty)$ 上向上凹，因为 $f'' (8)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(5, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 6

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 5)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(5, \infty)$ 上为向上凹

解题步骤 7

微积分学 示例

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