微积分学示例

$f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

解题步骤 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = {(x - 4)}^{2}$ 且 $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ 。

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

将 ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{2}] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x - 4$ 。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

使用 $x - 4$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.4

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.4.1

将 $2$ 移到 ${(x - 2)}^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot {(x - 2)}^{2} (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4] - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.4.2

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.4.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) (1 + 0) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.4.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.4.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) \cdot 1 - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.4.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x - 2$ 。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.5.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - {(x - 4)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.6

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.6.2

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.6.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.6.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.6.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} ((x - 2) \cdot 1)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.6.5.2

将 $x - 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.7

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.7.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.7.1.1

从 $2 {(x - 2)}^{2} (x - 4) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)$ 中分解出因数 $2 (x - 2) (x - 4)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.7.1.1.1

从 $2 {(x - 2)}^{2} (x - 4)$ 中分解出因数 $2 (x - 2) (x - 4)$ 。

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) - 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.7.1.1.2

从 $- 2 {(x - 4)}^{2} (x - 2)$ 中分解出因数 $2 (x - 2) (x - 4)$ 。

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 4) (- (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.7.1.1.3

从 $2 (x - 2) (x - 4) (x - 2) + 2 (x - 2) (x - 4) (- (x - 4))$ 中分解出因数 $2 (x - 2) (x - 4)$ 。

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.7.1.2

运用分配律。

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - x - - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.7.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (x - 2 - x + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.7.1.4

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (0 - 2 + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.7.1.5

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) (- 2 + 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.7.1.6

将 $- 2$ 和 $4$ 相加。

$\frac{2 (x - 2) (x - 4) \cdot 2}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.7.1.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 (x - 2) (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.7.2

约去 $x - 2$ 和 ${(x - 2)}^{4}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.7.2.1

从 $4 (x - 2) (x - 4)$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.1.7.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1.7.2.2.1

从 ${(x - 2)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 2$ 。

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.1.1.7.2.2.2

约去公因数。

$\frac{(x - 2) (4 (x - 4))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.1.1.7.2.2.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{4 (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$

解题步骤 1.1.2

求二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 (x - 4)}{{(x - 2)}^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{3}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x - 4}{{(x - 2)}^{3}}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 4$ 且 $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ 。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{({(x - 2)}^{3})}^{2}}$

解题步骤 1.1.2.3

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.1

将 ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 4] - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

解题步骤 1.1.2.3.2

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

解题步骤 1.1.2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

解题步骤 1.1.2.3.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} (1 + 0) - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

解题步骤 1.1.2.3.5

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} \cdot 1 - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

解题步骤 1.1.2.3.5.2

将 ${(x - 2)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]}{{(x - 2)}^{6}}$

解题步骤 1.1.2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 2$ 。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

解题步骤 1.1.2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

解题步骤 1.1.2.4.3

使用 $x - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - (x - 4) (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

解题步骤 1.1.2.5

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.5.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{{(x - 2)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

解题步骤 1.1.2.5.2

从 ${(x - 2)}^{3} - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$ 中分解出因数 ${(x - 2)}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.5.2.1

从 ${(x - 2)}^{3}$ 中分解出因数 ${(x - 2)}^{2}$ 。

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) - 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{6}}$

解题步骤 1.1.2.5.2.2

从 $- 3 (x - 4) ({(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$ 中分解出因数 ${(x - 2)}^{2}$ 。

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

解题步骤 1.1.2.5.2.3

从 ${(x - 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (- 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))$ 中分解出因数 ${(x - 2)}^{2}$ 。

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{6}}$

解题步骤 1.1.2.6

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.6.1

从 ${(x - 2)}^{6}$ 中分解出因数 ${(x - 2)}^{2}$ 。

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.6.2

约去公因数。

$4 \frac{{(x - 2)}^{2} (x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.6.3

重写表达式。

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.7

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.9

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.10

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.10.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4) \cdot 1}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.10.2

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{x - 2 - 3 (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.10.3

组合 $4$ 和 $\frac{x - 2 - 3 (x - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$ 。

$\frac{4 (x - 2 - 3 (x - 4))}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.11.1

运用分配律。

$\frac{4 (x - 2 - 3 x - 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.11.2

运用分配律。

$\frac{4 x + 4 \cdot - 2 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.11.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.11.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.11.3.1.1

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4 x - 8 + 4 (- 3 x) + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.11.3.1.2

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 4 (- 3 \cdot - 4)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.11.3.1.3

乘以 $4 (- 3 \cdot - 4)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.11.3.1.3.1

将 $- 3$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 4 \cdot 12}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.11.3.1.3.2

将 $4$ 乘以 $12$ 。

$\frac{4 x - 8 - 12 x + 48}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.11.3.2

从 $4 x$ 中减去 $12 x$ 。

$\frac{- 8 x - 8 + 48}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.11.3.3

将 $- 8$ 和 $48$ 相加。

$\frac{- 8 x + 40}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.11.4

从 $- 8 x + 40$ 中分解出因数 $8$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.2.11.4.1

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x) + 40}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.11.4.2

从 $40$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x) + 8 (5)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.11.4.3

从 $8 (- x) + 8 (5)$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (- x + 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.11.5

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x) + 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.11.6

将 $5$ 重写为 $- 1 (- 5)$ 。

$\frac{8 (- (x) - 1 (- 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.11.7

从 $- (x) - 1 (- 5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{8 (- (x - 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.11.8

将 $- (x - 5)$ 重写为 $- 1 (x - 5)$ 。

$\frac{8 (- 1 (x - 5))}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.2.11.9

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.1.3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$ 。

$- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}}$

解题步骤 1.2

使二阶导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

将二阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{8 (x - 5)}{{(x - 2)}^{4}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$8 (x - 5) = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

将 $8 (x - 5) = 0$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1.1

将 $8 (x - 5) = 0$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 (x - 5)}{8} = \frac{0}{8}$

解题步骤 1.2.3.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1.2.1

约去 $8$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 (x - 5)}{8} = \frac{0}{8}$

解题步骤 1.2.3.1.2.1.2

用 $x - 5$ 除以 $1$ 。

$x - 5 = \frac{0}{8}$

解题步骤 1.2.3.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $8$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 1.2.3.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 2

求 $f (x) = \frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $\frac{{(x - 4)}^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 2}$

区间计数法：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 2}$

解题步骤 3

在二阶导数为零或无意义的 $x$ 值附近建立区间。

$(- \infty, 2) \cup (2, 5) \cup (5, \infty)$

解题步骤 4

将区间 $(- \infty, 2)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (0) = - \frac{8 ((0) - 5)}{{((0) - 2)}^{4}}$

解题步骤 4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{{(0 - 2)}^{4}}$

解题步骤 4.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{{(- 2)}^{4}}$

解题步骤 4.2.2.2

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{16}$

解题步骤 4.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

将 $8$ 乘以 $- 5$ 。

$f'' (0) = - \frac{- 40}{16}$

解题步骤 4.2.3.2

约去 $- 40$ 和 $16$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.2.1

从 $- 40$ 中分解出因数 $8$ 。

$f'' (0) = - \frac{8 (- 5)}{16}$

解题步骤 4.2.3.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.3.2.2.2

约去公因数。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 5}{8 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.3.2.2.3

重写表达式。

$f'' (0) = - \frac{- 5}{2}$

解题步骤 4.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (0) = \frac{5}{2}$

解题步骤 4.2.4

最终答案为 $\frac{5}{2}$ 。

$\frac{5}{2}$

解题步骤 4.3

图像在区间 $(- \infty, 2)$ 上向上凹，因为 $f'' (0)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 2)$ 上为向上凹

解题步骤 5

将区间 $(2, 5)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (4) = - \frac{8 ((4) - 5)}{{((4) - 2)}^{4}}$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

从 $4$ 中减去 $5$ 。

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{{(4 - 2)}^{4}}$

解题步骤 5.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{2^{4}}$

解题步骤 5.2.2.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{16}$

解题步骤 5.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (4) = - \frac{- 8}{16}$

解题步骤 5.2.3.2

约去 $- 8$ 和 $16$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.2.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $8$ 。

$f'' (4) = - \frac{8 (- 1)}{16}$

解题步骤 5.2.3.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $8$ 。

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.3.2.2.2

约去公因数。

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot - 1}{8 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.3.2.2.3

重写表达式。

$f'' (4) = - \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (4) = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.4

最终答案为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 5.3

图像在区间 $(2, 5)$ 上向上凹，因为 $f'' (4)$ 为正数。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(2, 5)$ 上为向上凹

解题步骤 6

将区间 $(5, \infty)$ 内的任意数代入二阶导数中并计算，以判断该函数的凹凸性。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

使用表达式中的 $8$ 替换变量 $x$ 。

$f'' (8) = - \frac{8 ((8) - 5)}{{((8) - 2)}^{4}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

从 $8$ 中减去 $5$ 。

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{{(8 - 2)}^{4}}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

从 $8$ 中减去 $2$ 。

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{6^{4}}$

解题步骤 6.2.2.2

对 $6$ 进行 $4$ 次方运算。

$f'' (8) = - \frac{8 \cdot 3}{1296}$

解题步骤 6.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.1

将 $8$ 乘以 $3$ 。

$f'' (8) = - \frac{24}{1296}$

解题步骤 6.2.3.2

约去 $24$ 和 $1296$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.2.1

从 $24$ 中分解出因数 $24$ 。

$f'' (8) = - \frac{24 (1)}{1296}$

解题步骤 6.2.3.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.2.2.1

从 $1296$ 中分解出因数 $24$ 。

$f'' (8) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 54}$

解题步骤 6.2.3.2.2.2

约去公因数。

$f'' (8) = - \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 54}$

解题步骤 6.2.3.2.2.3

重写表达式。

$f'' (8) = - \frac{1}{54}$

解题步骤 6.2.4

最终答案为 $- \frac{1}{54}$ 。

$- \frac{1}{54}$

解题步骤 6.3

图像在区间 $(5, \infty)$ 上向下凹，因为 $f'' (8)$ 为负数。

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(5, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 7

当函数的二阶导数为负数时，其图像向下凹，当其二阶导数为正数时，其图像向上凹。

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(- \infty, 2)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为正，在 $(2, 5)$ 上为向上凹

由于 $f'' (x)$ 为负，在 $(5, \infty)$ 上为向下凹

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例