微积分学示例

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.1.2

最终答案为 ${(x + h)}^{\frac{2}{3}}$ 。

${(x + h)}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{2}{3}}$

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

$f (x + h) = {(x + h)}^{\frac{2}{3}}$

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 3

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{\frac{2}{3}} - (x^{\frac{2}{3}})}{h}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

将 ${(x + h)}^{\frac{2}{3}}$ 重写为 ${({(x + h)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{({(x + h)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - x^{\frac{2}{3}}}{h}$

解题步骤 4.2

将 $x^{\frac{2}{3}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{({(x + h)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - {(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}{h}$

解题步骤 4.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = {(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $b = x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})}{h}$

解题步骤 5

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 5.1

将 ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\sqrt[3]{x + h}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x + h} + x^{\frac{1}{3}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})}{h}$

解题步骤 5.2

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\sqrt[3]{x}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{3}})}{h}$

解题步骤 5.3

将 ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\sqrt[3]{x + h}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - x^{\frac{1}{3}})}{h}$

解题步骤 5.4

将 $x^{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\sqrt[3]{x}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})}{h}$

解题步骤 6

运用洛必达法则。

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解题步骤 6.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 6.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{h \to 0} (\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 6.1.2.1

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x} \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.2

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} + lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.3

将极限移入根号内。

$\frac{(\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + h} + lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.4

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h} + lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.5

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.6

计算 $\sqrt[3]{x}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.7

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot (lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h} - lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.8

将极限移入根号内。

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + h} - lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.9

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.10

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.11

计算 $\sqrt[3]{x}$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{(\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.12

将 $0$ 代入所有出现 $h$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 6.1.2.12.1

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{(\sqrt[3]{x + 0} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.12.2

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{(\sqrt[3]{x + 0} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{x + 0} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.13

化简答案。

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解题步骤 6.1.2.13.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x}) \cdot (\sqrt[3]{x + 0} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.13.2

将 $\sqrt[3]{x}$ 和 $\sqrt[3]{x}$ 相加。

$\frac{2 \sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{x + 0} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.13.3

合并 $\sqrt[3]{x + 0} - \sqrt[3]{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 6.1.2.13.3.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \sqrt[3]{x} \cdot (\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x})}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.13.3.2

从 $\sqrt[3]{x}$ 中减去 $\sqrt[3]{x}$ 。

$\frac{2 \sqrt[3]{x} \cdot 0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.13.4

乘以 $2 \sqrt[3]{x} \cdot 0$ 。

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解题步骤 6.1.2.13.4.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0 \sqrt[3]{x}}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.2.13.4.2

将 $0$ 乘以 $\sqrt[3]{x}$ 。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

解题步骤 6.1.3

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 6.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 6.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 6.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [(\sqrt[3]{x + h} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x + h}$ 重写成 ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\sqrt[3]{x + h} - \sqrt[3]{x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x + h}$ 重写成 ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x})]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ 等于 $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ ，其中 $f (h) = {(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}$ 且 $g (h) = {(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}] + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.5

根据加法法则， ${(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = h^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (h) = x + h$ 。

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解题步骤 6.3.6.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x + h$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.6.3

使用 $x + h$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.9

在公分母上合并分子。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.10

化简分子。

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解题步骤 6.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.10.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.12

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x + h)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{{(x + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + h)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.14

根据加法法则， $x + h$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.15

因为 $x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.16

将 $0$ 和 $\frac{d}{d h} [h]$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.18

将 $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt[3]{x}]) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.19

因为 $- \sqrt[3]{x}$ 对于 $h$ 是常数，所以 $- \sqrt[3]{x}$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + 0) + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.20

将 $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.21

根据加法法则， ${(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{d}{d h} [{(x + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.22

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ 等于 $f' (g (h)) g' (h)$ ，其中 $f (h) = h^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (h) = x + h$ 。

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解题步骤 6.3.22.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + h$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.22.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.22.3

使用 $x + h$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.23

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.24

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.25

在公分母上合并分子。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.26

化简分子。

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解题步骤 6.3.26.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.26.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.27

将负号移到分数的前面。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3} {(x + h)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.28

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x + h)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{{(x + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.29

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + h)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.30

根据加法法则， $x + h$ 对 $h$ 的导数是 $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.31

因为 $x$ 对于 $h$ 是常数，所以 $x$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.32

将 $0$ 和 $\frac{d}{d h} [h]$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.33

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.34

将 $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) (\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [\sqrt[3]{x}])}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.35

因为 $\sqrt[3]{x}$ 对于 $h$ 是常数，所以 $\sqrt[3]{x}$ 对 $h$ 的导数为 $0$ 。

解题步骤 6.3.36

将 $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{({(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.37

化简。

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解题步骤 6.3.37.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.37.1.1

将 ${(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}$ 乘以 $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + ({(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}) \frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.37.1.2

将 ${(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}$ 乘以 $\frac{1}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.37.2

在公分母上合并分子。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x} + {(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.37.3

合并 ${(x + h)}^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{x} + {(x + h)}^{\frac{1}{3}} - \sqrt[3]{x}$ 中相反的项。

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解题步骤 6.3.37.3.1

从 $\sqrt[3]{x}$ 中减去 $\sqrt[3]{x}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + 0 + {(x + h)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.37.3.2

将 ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{3}} + {(x + h)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.37.4

将 ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ 和 ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.37.5

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(x + h)}^{\frac{2}{3}} {(x + h)}^{- \frac{1}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.37.6

通过指数相加将 ${(x + h)}^{\frac{2}{3}}$ 乘以 ${(x + h)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 6.3.37.6.1

移动 ${(x + h)}^{- \frac{1}{3}}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 ({(x + h)}^{- \frac{1}{3}} {(x + h)}^{\frac{2}{3}})}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.37.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(x + h)}^{- \frac{1}{3} + \frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.37.6.3

在公分母上合并分子。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(x + h)}^{\frac{- 1 + 2}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.37.6.4

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(x + h)}^{\frac{1}{3}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

解题步骤 6.3.38

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ 等于 $n h^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{3 {(x + h)}^{\frac{1}{3}}}}{1}$

解题步骤 6.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 {(x + h)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

解题步骤 6.5

将 ${(x + h)}^{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\sqrt[3]{x + h}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x + h}} \cdot 1$

解题步骤 6.6

将 $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x + h}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{2}{3 \sqrt[3]{x + h}}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

因为项 $\frac{2}{3}$ 对于 $h$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt[3]{x + h}}$

解题步骤 7.2

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h}}$

解题步骤 7.3

计算 $1$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt[3]{x + h}}$

解题步骤 7.4

将极限移入根号内。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + h}}$

解题步骤 7.5

当 $h$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}}$

解题步骤 7.6

计算 $x$ 的极限值，当 $h$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + lim_{h \to 0} h}}$

解题步骤 8

将 $0$ 代入 $h$ 来计算 $h$ 的极限值。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 0}}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

解题步骤 9.2

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 。

$\frac{2}{3} (\frac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}})$

解题步骤 9.3

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

解题步骤 9.3.2

对 $\sqrt[3]{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

解题步骤 9.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

解题步骤 9.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

解题步骤 9.3.5

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 9.3.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 9.3.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 9.3.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 9.3.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.5.4.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 9.3.5.4.2

重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

解题步骤 9.3.5.5

化简。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

解题步骤 9.4

合并。

$\frac{2 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{3 x}$

解题步骤 9.5

将 ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt[3]{x^{2}}}{3 x}$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例