微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

解题步骤 1

考思考一下导数的极限定义。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

解题步骤 3

合并和化简分母。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

解题步骤 3.2

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

解题步骤 3.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

解题步骤 3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

解题步骤 3.6

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.4.1

约去公因数。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.6.4.2

重写表达式。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

解题步骤 3.6.5

化简。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

解题步骤 4

求定义的补集。

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解题步骤 4.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

解题步骤 4.1.2

最终答案为 $\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ 。

$\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

解题步骤 4.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

$f (x + h) = \frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x}$

解题步骤 5

插入分量。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} - (\frac{\sqrt{x}}{x})}{h}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

要将 $\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x}}{h}$

解题步骤 6.1.2

要将 $- \frac{\sqrt{x}}{x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h}}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

解题步骤 6.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h) x$ 的形式。

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解题步骤 6.1.3.1

将 $\frac{\sqrt{x + h}}{x + h}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{(x + h) x} - \frac{\sqrt{x}}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

解题步骤 6.1.3.2

将 $\frac{\sqrt{x}}{x}$ 乘以 $\frac{x + h}{x + h}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{(x + h) x} - \frac{\sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.3.3

重新排序 $(x + h) x$ 的因式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x}{x (x + h)} - \frac{\sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.4

在公分母上合并分子。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sqrt{x + h} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{\sqrt{x + h} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}$ 。

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解题步骤 6.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + h}$ 重写成 ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - \sqrt{x} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.3

运用分配律。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.4

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.1.5.4.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.1.5.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{1 + \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.4.4

在公分母上合并分子。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{2 + 1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.4.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.5

以因式分解的形式重写 ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h$ 。

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解题步骤 6.1.5.5.1

从 ${(x + h)}^{\frac{1}{2}} x - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 6.1.5.5.1.1

将 ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $x$ 重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.5.1.2

从 $x {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) - x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.5.1.3

从 $- x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} h}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.5.1.4

从 $- x^{\frac{1}{2}} h$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.5.1.5

从 $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- x^{\frac{2}{2}})$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.5.1.6

从 $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (- h)$ 中分解出因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{2}{2}} - h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.5.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.5.3

化简。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.6

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x (x + h)}$ 。

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解题步骤 6.1.5.6.1

从 $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)$ 中分解出因数 $x$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h))}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.6.2

约去公因数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h))}{x (x + h)}}{h}$

解题步骤 6.1.5.6.3

重写表达式。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h)}{x + h}}{h}$

解题步骤 6.1.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}}}{h}$

解题步骤 6.2

将分子乘以分母的倒数。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 6.3

将 $\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{h}$ 。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$

解题步骤 6.4

将 $\frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{(x + h) x^{\frac{1}{2}} h}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{\frac{1}{2}} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

解题步骤 7

化简极限自变量。

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解题步骤 7.1

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 7.1.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

解题步骤 7.1.2

将 ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x + h}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} \sqrt{x + h} - x - h}{h x^{\frac{1}{2}} (x + h)}$

解题步骤 7.1.3

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x}$ 。

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x} \sqrt{x + h} - x - h}{h \sqrt{x} (x + h)}$

解题步骤 7.2

使用根数乘积法则进行合并。

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x (x + h)} - x - h}{h \sqrt{x} (x + h)}$

解题步骤 8

Since the numerator is negative and the denominator $h \sqrt{x} (x + h)$ approaches zero and is less than zero for $h$ near $0$ on both sides, the function increases without bound.

$\infty$

解题步骤 9

微积分学 示例

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