微积分学示例

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $(0, 6)$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 x + 2$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x + 2$ 。

$2 x + 2$

解题步骤 2

判断导数在 $(0, 6)$ 上是否连续。

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解题步骤 2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2

$f' (x)$ 在 $(0, 6)$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 3

该函数在 $(0, 6)$ 上可微，因为其导数在 $(0, 6)$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 4

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