微积分学示例

$f (x) = 2 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

解题步骤 1

求 $f (x) = 2 \sqrt{x}$ 的导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 1.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 1.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.1.6

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 1.1.7

化简分子。

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解题步骤 1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 1.1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 1.1.8

将负号移到分数的前面。

$2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 1.1.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.1.10

组合 $2$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 1.1.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.12

约去公因数。

$\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.13

重写表达式。

$f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f' (x)$ 在 $[4, 9]$ 上是否连续，需要求出 $f' (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 的定义域。

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解题步骤 2.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 2.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{1}{\sqrt{x^{1}}}$

解题步骤 2.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{1}{\sqrt{x}}$

解题步骤 2.2

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{x} = 0$

解题步骤 2.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 2.4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 2.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 2.4.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 2.4.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{2}$

解题步骤 2.4.2.2.1.2

化简。

$x = 0^{2}$

解题步骤 2.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

区间计数法：

$(0, \infty)$

集合符号：

${x | x > 0}$

解题步骤 3

$f' (x)$ 在 $[4, 9]$ 上连续。

$f' (x)$ 是连续的

解题步骤 4

函数 $f'$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 5

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

解题步骤 6.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

解题步骤 6.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

解题步骤 6.2.3

将负号移到分数的前面。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 x^{\frac{1}{2}}]_{4}^{9})$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 在 $9$ 处和在 $4$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} ((2 \cdot 9^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.2

化简。

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解题步骤 8.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.3.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.2.3.2

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.2.4

计算指数。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2 \cdot 3 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.2.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.2.6

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 8.2.7

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

解题步骤 8.2.8

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.8.1

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})})$

解题步骤 8.2.8.2

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

解题步骤 8.2.9

计算指数。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 2 \cdot 2)$

解题步骤 8.2.10

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 - 4)$

解题步骤 8.2.11

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (2)$

解题步骤 9

从 $9$ 中减去 $4$ 。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 2$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $2$ 。

$A (x) = \frac{2}{5}$

解题步骤 11

微积分学 示例

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