微积分学示例

$y = x^{3}$ , $[0, 5]$

解题步骤 1

将 $y = x^{3}$ 书写为一个函数。

$f (x) = x^{3}$

解题步骤 2

求 $f (x) = x^{3}$ 的导数。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2}$

解题步骤 2.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2}$ 。

$3 x^{2}$

解题步骤 3

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 4

$f' (x)$ 在 $[0, 5]$ 上连续。

$f' (x)$ 是连续的

解题步骤 5

函数 $f'$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 6

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 3 x^{2} d x)$

解题步骤 7

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 \int_{0}^{5} x^{2} d x)$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{5}))$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{5}))$

解题步骤 9.2

代入并化简。

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解题步骤 9.2.1

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $5$ 处和在 $0$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.2

化简。

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解题步骤 9.2.2.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

解题步骤 9.2.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{3}))$

解题步骤 9.2.2.3

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.3.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

解题步骤 9.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.2.3.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 9.2.2.3.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

解题步骤 9.2.2.3.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - \frac{0}{1}))$

解题步骤 9.2.2.3.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} - 0))$

解题步骤 9.2.2.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3} + 0))$

解题步骤 9.2.2.5

将 $\frac{125}{3}$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (3 (\frac{125}{3}))$

解题步骤 9.2.2.6

组合 $3$ 和 $\frac{125}{3}$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3})$

解题步骤 9.2.2.7

将 $3$ 乘以 $125$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{375}{3})$

解题步骤 9.2.2.8

约去 $375$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.8.1

从 $375$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3})$

解题步骤 9.2.2.8.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.2.8.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3 (1)})$

解题步骤 9.2.2.8.2.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{3 \cdot 125}{3 \cdot 1})$

解题步骤 9.2.2.8.2.3

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\frac{125}{1})$

解题步骤 9.2.2.8.2.4

用 $125$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (125)$

解题步骤 10

化简分母。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 125$

解题步骤 10.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 125$

解题步骤 11

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 11.1

从 $125$ 中分解出因数 $5$ 。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 (25))$

解题步骤 11.2

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 25)$

解题步骤 11.3

重写表达式。

$A (x) = 25$

解题步骤 12

微积分学 示例

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