微积分学示例

$y = 4 - x^{2}$ ,

$[- 2, 2]$

解题步骤 1

检验

$f (x) = 4 - x^{2}$ 是否连续。

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解题步骤 1.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 在

$[- 2, 2]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2

检验

$f (x) = 4 - x^{2}$ 是否可微。

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解题步骤 2.1

求导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1.1

根据加法法则，

$4 - x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.1.2

因为

$4$ 对于

$x$ 是常数，所以

$4$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$0 - (2 x)$

解题步骤 2.1.1.2.3

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$0 - 2 x$

解题步骤 2.1.1.3

从

$0$ 中减去

$2 x$ 。

$f' (x) = - 2 x$

解题步骤 2.1.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$- 2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 2.2

判断导数在

$[- 2, 2]$ 上是否连续。

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解题步骤 2.2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2.2

$f' (x)$ 在

$[- 2, 2]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2.3

该函数在

$[- 2, 2]$ 上可微，因为其导数在

$[- 2, 2]$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 3

为了确保弧长成立，函数自身及其导数在闭区间

$[- 2, 2]$ 上都必须为连续的。

函数及其导数在闭区间

$[- 2, 2]$ 上连续。

解题步骤 4

求

$f (x) = 4 - x^{2}$ 的导数。

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解题步骤 4.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则，

$4 - x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 4.1.2

因为

$4$ 对于

$x$ 是常数，所以

$4$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 4.2

计算

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$0 - (2 x)$

解题步骤 4.2.3

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$0 - 2 x$

解题步骤 4.3

从

$0$ 中减去

$2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 5

要求函数的弧长，请使用公式

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ 。

$\int_{- 2}^{2} \sqrt{1 + {(- 2 x)}^{2}} d x$

解题步骤 6

计算积分。

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解题步骤 6.1

使

$x = \frac{1}{2} \tan (t)$ ，其中

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使

$d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ 。请注意，因为

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以

$\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ 为正数。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2

化简项。

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解题步骤 6.2.1

化简

$\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1.1

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$\tan (t)$ 。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.1.1.2

对

$\frac{\tan (t)}{2}$ 运用乘积法则。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.1.1.3

对

$2$ 进行

$2$ 次方运算。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.1.1.4

约去

$4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.4.1

约去公因数。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.1.1.4.2

重写表达式。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.1.2

重新整理项。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.1.3

使用勾股恒等式。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.1

组合

$\sec (t)$ 和

$\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ 。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.2.2

通过指数相加将

$\sec (t)$ 乘以

$\sec^{2} (t)$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1

将

$\sec (t)$ 乘以

$\sec^{2} (t)$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

对

$\sec (t)$ 进行

$1$ 次方运算。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

解题步骤 6.2.2.2.2

将

$1$ 和

$2$ 相加。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.3

由于

$\frac{1}{2}$ 对于

$t$ 是常数，所以将

$\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 6.4

应用归约公式。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) d t)$

解题步骤 6.5

$\sec (t)$ 对

$t$ 的积分为

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766})$

解题步骤 6.6

化简。

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解题步骤 6.6.1

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

解题步骤 6.6.2

要将

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

解题步骤 6.6.3

组合

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ 和

$\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

解题步骤 6.6.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

解题步骤 6.6.5

将

$2$ 移到

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

解题步骤 6.6.6

将

$\frac{1}{2}$ 乘以

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.6.7

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

解题步骤 6.7

代入并化简。

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解题步骤 6.7.1

计算

$\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ 在

$1.32581766$ 处和在

$- 1.32581766$ 处的值。

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

解题步骤 6.7.2

计算

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 在

$1.32581766$ 处和在

$- 1.32581766$ 处的值。

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + (\ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |)) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

解题步骤 6.7.3

去掉多余的括号。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

解题步骤 6.8

使用对数的商数性质，即

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9

化简。

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解题步骤 6.9.1

化简分子。

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解题步骤 6.9.1.1

计算

$\tan (- 1.32581766)$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.1.2

计算

$\sec (- 1.32581766)$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \cdot 4.12310562}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.2

将

$- 4$ 乘以

$4.12310562$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 16.4924225}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.3

用

$- 16.4924225$ 除以

$2$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - - 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.4

将

$- 1$ 乘以

$- 8.24621125$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.5

化简每一项。

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解题步骤 6.9.5.1

化简分子。

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解题步骤 6.9.5.1.1

计算

$\tan (1.32581766)$ 。

$\frac{2 (\frac{4 \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.5.1.2

计算

$\sec (1.32581766)$ 。

$\frac{2 (\frac{4 \cdot 4.12310562}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.5.2

将

$4$ 乘以

$4.12310562$ 。

$\frac{2 (\frac{16.4924225}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.5.3

用

$16.4924225$ 除以

$2$ 。

$\frac{2 (8.24621125 + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.6

将

$8.24621125$ 和

$8.24621125$ 相加。

$\frac{2 \cdot 16.4924225 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.7

将

$2$ 乘以

$16.4924225$ 。

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.8

$\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)$ 约为

$8.12310562$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.9

$\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)$ 约为

$0.12310562$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

小数形式：

$9.29356752 \dots$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例