微积分学示例

$y = 4 - x^{2}$ , $[- 2, 2]$

解题步骤 1

检验 $f (x) = 4 - x^{2}$ 是否连续。

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解题步骤 1.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2

检验 $f (x) = 4 - x^{2}$ 是否可微。

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解题步骤 2.1

求导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1.1

根据加法法则， $4 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 x)$

解题步骤 2.1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 x$

解题步骤 2.1.1.3

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$f' (x) = - 2 x$

解题步骤 2.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 2.2

判断导数在 $[- 2, 2]$ 上是否连续。

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解题步骤 2.2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2.2

$f' (x)$ 在 $[- 2, 2]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2.3

该函数在 $[- 2, 2]$ 上可微，因为其导数在 $[- 2, 2]$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 3

为了确保弧长成立，函数自身及其导数在闭区间 $[- 2, 2]$ 上都必须为连续的。

函数及其导数在闭区间 $[- 2, 2]$ 上连续。

解题步骤 4

求 $f (x) = 4 - x^{2}$ 的导数。

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解题步骤 4.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $4 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 4.1.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 - (2 x)$

解题步骤 4.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$0 - 2 x$

解题步骤 4.3

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$- 2 x$

解题步骤 5

要求函数的弧长，请使用公式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ 。

$\int_{- 2}^{2} \sqrt{1 + {(- 2 x)}^{2}} d x$

解题步骤 6

计算积分。

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解题步骤 6.1

使 $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ 为正数。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2

化简项。

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解题步骤 6.2.1

化简 $\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\tan (t)$ 。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.1.1.2

对 $\frac{\tan (t)}{2}$ 运用乘积法则。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.1.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.1.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.4.1

约去公因数。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.1.1.4.2

重写表达式。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.1.2

重新整理项。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.1.3

使用勾股恒等式。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.1.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.2

化简。

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解题步骤 6.2.2.1

组合 $\sec (t)$ 和 $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ 。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.2.2

通过指数相加将 $\sec (t)$ 乘以 $\sec^{2} (t)$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1

将 $\sec (t)$ 乘以 $\sec^{2} (t)$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1.1

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

解题步骤 6.2.2.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 6.4

应用归约公式。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \int_{- 1.32581766}^{1.32581766} \sec (t) d t)$

解题步骤 6.5

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766})$

解题步骤 6.6

化简。

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解题步骤 6.6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

解题步骤 6.6.2

要将 $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

解题步骤 6.6.3

组合 $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2})$

解题步骤 6.6.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

解题步骤 6.6.5

将 $2$ 移到 $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$

解题步骤 6.6.6

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2}$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.6.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{- 1.32581766}^{1.32581766}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

解题步骤 6.7

代入并化简。

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解题步骤 6.7.1

计算 $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ 在 $1.32581766$ 处和在 $- 1.32581766$ 处的值。

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{- 1.32581766}^{1.32581766}}{4}$

解题步骤 6.7.2

计算 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 在 $1.32581766$ 处和在 $- 1.32581766$ 处的值。

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2}) - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + (\ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |)) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

解题步骤 6.7.3

去掉多余的括号。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |) - \ln (| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |)}{4}$

解题步骤 6.8

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{\tan (- 1.32581766) \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9

化简。

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解题步骤 6.9.1

化简分子。

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解题步骤 6.9.1.1

计算 $\tan (- 1.32581766)$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \sec (- 1.32581766)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.1.2

计算 $\sec (- 1.32581766)$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 4 \cdot 4.12310562}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.2

将 $- 4$ 乘以 $4.12310562$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - \frac{- 16.4924225}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.3

用 $- 16.4924225$ 除以 $2$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} - - 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.4

将 $- 1$ 乘以 $- 8.24621125$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.32581766) \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.5

化简每一项。

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解题步骤 6.9.5.1

化简分子。

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解题步骤 6.9.5.1.1

计算 $\tan (1.32581766)$ 。

$\frac{2 (\frac{4 \sec (1.32581766)}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.5.1.2

计算 $\sec (1.32581766)$ 。

$\frac{2 (\frac{4 \cdot 4.12310562}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.5.2

将 $4$ 乘以 $4.12310562$ 。

$\frac{2 (\frac{16.4924225}{2} + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.5.3

用 $16.4924225$ 除以 $2$ 。

$\frac{2 (8.24621125 + 8.24621125) + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.6

将 $8.24621125$ 和 $8.24621125$ 相加。

$\frac{2 \cdot 16.4924225 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.7

将 $2$ 乘以 $16.4924225$ 。

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{| \sec (1.32581766) + \tan (1.32581766) |}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.8

$\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)$ 约为 $8.12310562$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{| \sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766) |})}{4}$

解题步骤 6.9.9

$\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)$ 约为 $0.12310562$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{32.984845 + \ln (\frac{\sec (1.32581766) + \tan (1.32581766)}{\sec (- 1.32581766) + \tan (- 1.32581766)})}{4}$

小数形式：

$9.29356752 \dots$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例