微积分学示例

$f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ , $[0, 4]$

解题步骤 1

检验 $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ 是否连续。

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解题步骤 1.1

要求函数在 $[0, 4]$ 上是否连续，请求出 $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{4}{5} \sqrt[4]{x^{5}}$

解题步骤 1.1.2

将 $\sqrt[4]{x^{5}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x^{5} \geq 0$

解题步骤 1.1.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt[5]{x^{5}} \geq \sqrt[5]{0}$

解题步骤 1.1.3.2

化简方程。

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解题步骤 1.1.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.1.3.2.1.1

从根式下提出各项。

$x \geq \sqrt[5]{0}$

解题步骤 1.1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.3.2.2.1

化简 $\sqrt[5]{0}$ 。

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解题步骤 1.1.3.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{5}$ 。

$x \geq \sqrt[5]{0^{5}}$

解题步骤 1.1.3.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$x \geq 0$

解题步骤 1.1.4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 在 $[0, 4]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2

检验 $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ 是否可微。

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解题步骤 2.1

求导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{4}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

解题步骤 2.1.1.2

因为 $\frac{4}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ 。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

解题步骤 2.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{4}$ 。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

解题步骤 2.1.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

解题步骤 2.1.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

解题步骤 2.1.1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

解题步骤 2.1.1.7

化简分子。

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解题步骤 2.1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

解题步骤 2.1.1.7.2

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

解题步骤 2.1.1.8

组合 $\frac{5}{4}$ 和 $x^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

解题步骤 2.1.1.9

将 $\frac{4}{5}$ 乘以 $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ 。

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

解题步骤 2.1.1.10

乘。

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解题步骤 2.1.1.10.1

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

解题步骤 2.1.1.10.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

解题步骤 2.1.1.11

约去公因数。

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

解题步骤 2.1.1.12

用 $x^{\frac{1}{4}}$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 2.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{\frac{1}{4}}$ 。

$x^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 2.2

判断导数在 $[0, 4]$ 上是否连续。

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解题步骤 2.2.1

要求函数在 $[0, 4]$ 上是否连续，请求出 $f' (x) = x^{\frac{1}{4}}$ 的定义域。

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解题步骤 2.2.1.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 2.2.1.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\sqrt[4]{x^{1}}$

解题步骤 2.2.1.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\sqrt[4]{x}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $\sqrt[4]{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 2.2.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

区间计数法：

$[0, \infty)$

集合符号：

${x | x \geq 0}$

解题步骤 2.2.2

$f' (x)$ 在 $[0, 4]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2.3

该函数在 $[0, 4]$ 上可微，因为其导数在 $[0, 4]$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 3

为了确保弧长成立，函数自身及其导数在闭区间 $[0, 4]$ 上都必须为连续的。

函数及其导数在闭区间 $[0, 4]$ 上连续。

解题步骤 4

求 $f (x) = (\frac{4}{5}) x^{\frac{5}{4}}$ 的导数。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{4}{5}$ 和 $x^{\frac{5}{4}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}]$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{4}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$ 。

$\frac{4}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{4}}]$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{4}$ 。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1})$

解题步骤 4.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

解题步骤 4.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

解题步骤 4.6

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 1 \cdot 4}{4}})$

解题步骤 4.7

化简分子。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{5 - 4}{4}})$

解题步骤 4.7.2

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$\frac{4}{5} (\frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}})$

解题步骤 4.8

组合 $\frac{5}{4}$ 和 $x^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{4}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$

解题步骤 4.9

将 $\frac{4}{5}$ 乘以 $\frac{5 x^{\frac{1}{4}}}{4}$ 。

$\frac{4 (5 x^{\frac{1}{4}})}{5 \cdot 4}$

解题步骤 4.10

乘。

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解题步骤 4.10.1

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{5 \cdot 4}$

解题步骤 4.10.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

解题步骤 4.11

约去公因数。

$\frac{20 x^{\frac{1}{4}}}{20}$

解题步骤 4.12

用 $x^{\frac{1}{4}}$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 5

要求函数的弧长，请使用公式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ 。

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{4}})}^{2}} d x$

解题步骤 6

微积分学 示例

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