微积分学示例

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $0 < x < 6$

解题步骤 1

检验 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 是否连续。

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解题步骤 1.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 在 $[0, 6]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2

检验 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 是否可微。

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解题步骤 2.1

求导数。

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解题步骤 2.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 2.1.1.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 2 \cdot 1$

解题步骤 2.1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 2 x + 2$

解题步骤 2.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x + 2$ 。

$2 x + 2$

解题步骤 2.2

判断导数在 $[0, 6]$ 上是否连续。

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解题步骤 2.2.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2.2.2

$f' (x)$ 在 $[0, 6]$ 上连续。

该函数连续。

解题步骤 2.3

该函数在 $[0, 6]$ 上可微，因为其导数在 $[0, 6]$ 上连续。

该函数可微。

解题步骤 3

为了确保弧长成立，函数自身及其导数在闭区间 $[0, 6]$ 上都必须为连续的。

函数及其导数在闭区间 $[0, 6]$ 上连续。

解题步骤 4

求 $f (x) = x^{2} + 2 x$ 的导数。

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解题步骤 4.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $x^{2} + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 2 \cdot 1$

解题步骤 4.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 x + 2$

解题步骤 5

要求函数的弧长，请使用公式 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ 。

$\int_{0}^{6} \sqrt{1 + {(2 x + 2)}^{2}} d x$

解题步骤 6

计算积分。

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解题步骤 6.1

配方。

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解题步骤 6.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 4$

$b = 8$

$c = 5$

解题步骤 6.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 6.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 6.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 6.1.3.2.1

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

解题步骤 6.1.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{4}{4}$

解题步骤 6.1.3.2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.3.2.2.1

约去公因数。

$d = \frac{4}{4}$

解题步骤 6.1.3.2.2.2

重写表达式。

$d = 1$

解题步骤 6.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 6.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 5 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 6.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.4.2.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 5 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

解题步骤 6.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$e = 5 - \frac{64}{16}$

解题步骤 6.1.4.2.1.3

用 $64$ 除以 $16$ 。

$e = 5 - 1 \cdot 4$

解题步骤 6.1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$e = 5 - 4$

解题步骤 6.1.4.2.2

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$e = 1$

解题步骤 6.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $4 {(x + 1)}^{2} + 1$ 。

$\int_{0}^{6} \sqrt{4 {(x + 1)}^{2} + 1} d x$

解题步骤 6.2

使 $u = x + 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.2.1

设 $u = x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 6.2.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6.2.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.2.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2.2

将下限代入替换 $u = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 6.2.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 6.2.4

将上限代入替换 $u = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 6 + 1$

解题步骤 6.2.5

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 7$

解题步骤 6.2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 7$

解题步骤 6.2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{7} \sqrt{4 u^{2} + 1} d u$

解题步骤 6.3

使 $u = \frac{1}{2} \tan (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d u = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ 为正数。

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.4

化简项。

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解题步骤 6.4.1

化简 $\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ 。

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解题步骤 6.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\tan (t)$ 。

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.4.1.1.2

对 $\frac{\tan (t)}{2}$ 运用乘积法则。

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.4.1.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.4.1.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1.1.4.1

约去公因数。

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.4.1.1.4.2

重写表达式。

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.4.1.2

使用勾股恒等式。

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.4.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.4.2

化简。

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解题步骤 6.4.2.1

组合 $\sec (t)$ 和 $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ 。

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.4.2.2

通过指数相加将 $\sec (t)$ 乘以 $\sec^{2} (t)$ 。

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解题步骤 6.4.2.2.1

将 $\sec (t)$ 乘以 $\sec^{2} (t)$ 。

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解题步骤 6.4.2.2.1.1

对 $\sec (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.4.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

解题步骤 6.4.2.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int_{1.10714871}^{1.49948886} \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

解题步骤 6.5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{1.10714871}^{1.49948886} \sec^{3} (t) d t$

解题步骤 6.6

应用归约公式。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} + \frac{1}{2} \int_{1.10714871}^{1.49948886} \sec (t) d t)$

解题步骤 6.7

$\sec (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} + \frac{1}{2} \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886})$

解题步骤 6.8

化简。

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解题步骤 6.8.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2})$

解题步骤 6.8.2

要将 $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2})$

解题步骤 6.8.3

组合 $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2})$

解题步骤 6.8.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886} \cdot 2 + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2}$

解题步骤 6.8.5

将 $2$ 移到 $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}$ 的左侧。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2}$

解题步骤 6.8.6

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2}$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.8.7

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}]_{1.10714871}^{1.49948886}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{4}$

解题步骤 6.9

代入并化简。

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解题步骤 6.9.1

计算 $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ 在 $1.49948886$ 处和在 $1.10714871$ 处的值。

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2}) - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)]_{1.10714871}^{1.49948886}}{4}$

解题步骤 6.9.2

计算 $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ 在 $1.49948886$ 处和在 $1.10714871$ 处的值。

$\frac{2 ((\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2}) - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + (\ln (| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |)) - \ln (| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |)}{4}$

解题步骤 6.9.3

去掉多余的括号。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |) - \ln (| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |)}{4}$

解题步骤 6.10

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - \frac{\tan (1.10714871) \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

解题步骤 6.11

化简。

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解题步骤 6.11.1

化简分子。

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解题步骤 6.11.1.1

计算 $\tan (1.10714871)$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - \frac{2 \sec (1.10714871)}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

解题步骤 6.11.1.2

计算 $\sec (1.10714871)$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - \frac{2 \cdot 2.23606797}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

解题步骤 6.11.2

将 $2$ 乘以 $2.23606797$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - \frac{4.47213595}{2}) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

解题步骤 6.11.3

用 $4.47213595$ 除以 $2$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - 1 \cdot 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

解题步骤 6.11.4

将 $- 1$ 乘以 $2.23606797$ 。

$\frac{2 (\frac{\tan (1.49948886) \sec (1.49948886)}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

解题步骤 6.11.5

化简每一项。

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解题步骤 6.11.5.1

化简分子。

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解题步骤 6.11.5.1.1

计算 $\tan (1.49948886)$ 。

$\frac{2 (\frac{14 \sec (1.49948886)}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

解题步骤 6.11.5.1.2

计算 $\sec (1.49948886)$ 。

$\frac{2 (\frac{14 \cdot 14.03566884}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

解题步骤 6.11.5.2

将 $14$ 乘以 $14.03566884$ 。

$\frac{2 (\frac{196.49936386}{2} - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

解题步骤 6.11.5.3

用 $196.49936386$ 除以 $2$ 。

$\frac{2 (98.24968193 - 2.23606797) + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

解题步骤 6.11.6

从 $98.24968193$ 中减去 $2.23606797$ 。

$\frac{2 \cdot 96.01361395 + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

解题步骤 6.11.7

将 $2$ 乘以 $96.01361395$ 。

$\frac{192.02722791 + \ln (\frac{| \sec (1.49948886) + \tan (1.49948886) |}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

解题步骤 6.11.8

$\sec (1.49948886) + \tan (1.49948886)$ 约为 $28.03566884$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{192.02722791 + \ln (\frac{\sec (1.49948886) + \tan (1.49948886)}{| \sec (1.10714871) + \tan (1.10714871) |})}{4}$

解题步骤 6.11.9

$\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)$ 约为 $4.23606797$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{192.02722791 + \ln (\frac{\sec (1.49948886) + \tan (1.49948886)}{\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)})}{4}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{192.02722791 + \ln (\frac{\sec (1.49948886) + \tan (1.49948886)}{\sec (1.10714871) + \tan (1.10714871)})}{4}$

小数形式：

$48.47926750 \dots$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例