微积分学示例

$\int_{0}^{5} 3000 e^{- 0.05 x} d x$

解题步骤 1

由于 $3000$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3000$ 移到积分外。

$3000 \int_{0}^{5} e^{- 0.05 x} d x$

解题步骤 2

使 $u = - 0.05 x$ 。然后使 $d u = - 0.05 d x$ ，以便 $\frac{1}{- 0.05} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = - 0.05 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $- 0.05 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [- 0.05 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $- 0.05$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 0.05 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 0.05 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 0.05 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 0.05 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $- 0.05$ 乘以 $1$ 。

$- 0.05$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = - 0.05 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = - 0.05 \cdot 0$

解题步骤 2.3

将 $- 0.05$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = - 0.05 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = - 0.05 \cdot 5$

解题步骤 2.5

将 $- 0.05$ 乘以 $5$ 。

$u_{upper} = - 0.25$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.25$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$3000 \int_{0}^{- 0.25} e^{u} \frac{1}{- 0.05} d u$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

将负号移到分数的前面。

$3000 \int_{0}^{- 0.25} e^{u} (- \frac{1}{0.05}) d u$

解题步骤 3.2

组合 $e^{u}$ 和 $\frac{1}{0.05}$ 。

$3000 \int_{0}^{- 0.25} - \frac{e^{u}}{0.05} d u$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$3000 (- \int_{0}^{- 0.25} \frac{e^{u}}{0.05} d u)$

解题步骤 5

将 $- 1$ 乘以 $3000$ 。

$- 3000 \int_{0}^{- 0.25} \frac{e^{u}}{0.05} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{0.05}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{0.05}$ 移到积分外。

$- 3000 (\frac{1}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{0.05}$ 和 $- 3000$ 。

$\frac{- 3000}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u$

解题步骤 7.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3000}{0.05} \int_{0}^{- 0.25} e^{u} d u$

解题步骤 8

$e^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $e^{u}$ 。

$- \frac{3000}{0.05} e^{u}]_{0}^{- 0.25}$

解题步骤 9

代入并化简。

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解题步骤 9.1

计算 $e^{u}$ 在 $- 0.25$ 处和在 $0$ 处的值。

$- \frac{3000}{0.05} ((e^{- 0.25}) - e^{0})$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$- \frac{3000}{0.05} (e^{- 0.25} - 1 \cdot 1)$

解题步骤 9.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{3000}{0.05} (e^{- 0.25} - 1)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

用 $3000$ 除以 $0.05$ 。

$- 1 \cdot 60000 (e^{- 0.25} - 1)$

解题步骤 10.2

将 $- 1$ 乘以 $60000$ 。

$- 60000 (e^{- 0.25} - 1)$

解题步骤 10.3

运用分配律。

$- 60000 e^{- 0.25} - 60000 \cdot - 1$

解题步骤 10.4

将 $- 60000$ 乘以 $- 1$ 。

$- 60000 e^{- 0.25} + 60000$

解题步骤 10.5

化简每一项。

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解题步骤 10.5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 60000 \frac{1}{e^{0.25}} + 60000$

解题步骤 10.5.2

组合 $- 60000$ 和 $\frac{1}{e^{0.25}}$ 。

$\frac{- 60000}{e^{0.25}} + 60000$

解题步骤 10.5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{60000}{e^{0.25}} + 60000$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{60000}{e^{0.25}} + 60000$

小数形式：

$13271.95301571 \dots$

解题步骤 12

微积分学 示例

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