微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - (x + h)}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $\frac{x + h}{6 - x - h}$ 。

$\frac{x + h}{6 - x - h}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{6 - x - h}$

$f (x) = \frac{x}{6 - x}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x + h}{6 - x - h} - (\frac{x}{6 - x})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{x + h}{6 - x - h}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6 - x}{6 - x}$ 。

$\frac{\frac{x + h}{6 - x - h} \cdot \frac{6 - x}{6 - x} - \frac{x}{6 - x}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{x}{6 - x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6 - x - h}{6 - x - h}$ 。

$\frac{\frac{x + h}{6 - x - h} \cdot \frac{6 - x}{6 - x} - \frac{x}{6 - x} \cdot \frac{6 - x - h}{6 - x - h}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(6 - x - h) (6 - x)$ 的形式。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{x + h}{6 - x - h}$ 乘以 $\frac{6 - x}{6 - x}$ 。

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x - h) (6 - x)} - \frac{x}{6 - x} \cdot \frac{6 - x - h}{6 - x - h}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{x}{6 - x}$ 乘以 $\frac{6 - x - h}{6 - x - h}$ 。

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x - h) (6 - x)} - \frac{x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 $(6 - x - h) (6 - x)$ 的因式。

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x)}{(6 - x) (6 - x - h)} - \frac{x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{(x + h) (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{(x + h) (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (6 - x)$ 。

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解题步骤 4.1.5.1.1

运用分配律。

$\frac{\frac{x (6 - x) + h (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.2

运用分配律。

$\frac{\frac{x \cdot 6 + x (- x) + h (6 - x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.1.3

运用分配律。

$\frac{\frac{x \cdot 6 + x (- x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.5.2.1

将 $6$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{\frac{6 \cdot x + x (- x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{6 x - x \cdot x + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.2.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{6 x - (x \cdot x) + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + h \cdot 6 + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.4

将 $6$ 移到 $h$ 的左侧。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 \cdot h + h (- x) - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - x (6 - x - h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

运用分配律。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - x \cdot 6 - x (- x) - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4

化简。

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解题步骤 4.1.5.4.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - x (- x) - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x (- h)}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5

化简每一项。

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解题步骤 4.1.5.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.5.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} - 1 \cdot - 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} + 1 x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{6 x - x^{2} + 6 h - h x - 6 x + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6

从 $6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 h - h x + 0 + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7

将 $- x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 h - h x + x^{2} + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{\frac{6 h - h x + 0 + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9

将 $6 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{- h x + 6 h + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.10

将 $- h x$ 和 $x h$ 相加。

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解题步骤 4.1.5.10.1

移动 $h$ 。

$\frac{\frac{6 h - x h + x h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.10.2

将 $- x h$ 和 $x h$ 相加。

$\frac{\frac{6 h + 0}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.11

将 $6 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{6 h}{(6 - x) (6 - x - h)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{6 h}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $6 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot 6}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

$\frac{h \cdot 6}{(6 - x) (6 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3.3

重写表达式。

$\frac{6}{(6 - x) (6 - x - h)}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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