微积分学示例

$\int_{0}^{1} y {(y^{2} + 1)}^{5} d y$

解题步骤 1

使 $u = y^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 y d y$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = y d y$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = y^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d y}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $y^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $y^{2} + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

解题步骤 1.1.4

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$2 y + 0$

解题步骤 1.1.5

将 $2 y$ 和 $0$ 相加。

$2 y$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = y^{2} + 1$ 中的 $y$ 。

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = y^{2} + 1$ 中的 $y$ 。

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 1.5.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{2} u^{5} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 2

组合 $u^{5}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int_{1}^{2} \frac{u^{5}}{2} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{5} d u$

解题步骤 4

根据幂法则， $u^{5}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{6} u^{6}$ 。

$\frac{1}{2} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{2}$

解题步骤 5

代入并化简。

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解题步骤 5.1

计算 $\frac{1}{6} u^{6}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{6} \cdot 2^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{6} \cdot 64 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

解题步骤 5.2.2

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $64$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{64}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

解题步骤 5.2.3

约去 $64$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $64$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 (32)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

解题步骤 5.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

解题步骤 5.2.3.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

解题步骤 5.2.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6})$

解题步骤 5.2.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

解题步骤 5.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} - \frac{1}{6})$

解题步骤 5.2.6

要将 $\frac{32}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{32}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6})$

解题步骤 5.2.7

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 5.2.7.1

将 $\frac{32}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6})$

解题步骤 5.2.7.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{32 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6})$

解题步骤 5.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{32 \cdot 2 - 1}{6}$

解题步骤 5.2.9

化简分子。

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解题步骤 5.2.9.1

将 $32$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{64 - 1}{6}$

解题步骤 5.2.9.2

从 $64$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{63}{6}$

解题步骤 5.2.10

约去 $63$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.10.1

从 $63$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 (21)}{6}$

解题步骤 5.2.10.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.10.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.10.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.10.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{21}{2}$

解题步骤 5.2.11

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{21}{2}$ 。

$\frac{21}{2 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.12

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{21}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{21}{4}$

小数形式：

$5.25$

带分数形式：

$5 \frac{1}{4}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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