微积分学示例

$\int_{0}^{1} 35 x^{4} e^{x^{5}} d x$

解题步骤 1

由于 $35$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $35$ 移到积分外。

$35 \int_{0}^{1} x^{4} e^{x^{5}} d x$

解题步骤 2

使 $u_{2} = e^{x^{5}}$ 。然后使 $d u_{2} = 5 x^{4} e^{x^{5}} d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u_{2} = x^{4} e^{x^{5}} d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u_{2} = e^{x^{5}}$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $e^{x^{5}}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [e^{x^{5}}]$

解题步骤 2.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{5}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.1.2.3

使用 $x^{5}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{x^{5}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$e^{x^{5}} (5 x^{4})$

解题步骤 2.1.4

化简。

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解题步骤 2.1.4.1

重新排序 $e^{x^{5}} (5 x^{4})$ 的因式。

$5 e^{x^{5}} x^{4}$

解题步骤 2.1.4.2

将 $5 e^{x^{5}} x^{4}$ 中的因式重新排序。

$5 x^{4} e^{x^{5}}$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u_{2} = e^{x^{5}}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = e^{0^{5}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$u_{lower} = e^{0}$

解题步骤 2.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u_{2} = e^{x^{5}}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = e^{1^{5}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

一的任意次幂都为一。

$u_{upper} = e^{1}$

解题步骤 2.5.2

化简。

$u_{upper} = e$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e$

解题步骤 2.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$35 \int_{1}^{e} \frac{1}{5} d u_{2}$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$35 (\frac{1}{5} u_{2}]_{1}^{e})$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $u_{2}$ 。

$35 (\frac{u_{2}}{5}]_{1}^{e})$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{u_{2}}{5}$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$35 (\frac{e}{5} - \frac{1}{5})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$35 \frac{e}{5} + 35 (- \frac{1}{5})$

解题步骤 5.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $35$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 (7) \frac{e}{5} + 35 (- \frac{1}{5})$

解题步骤 5.2.2

约去公因数。

$5 \cdot 7 \frac{e}{5} + 35 (- \frac{1}{5})$

解题步骤 5.2.3

重写表达式。

$7 e + 35 (- \frac{1}{5})$

解题步骤 5.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

将 $- \frac{1}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$7 e + 35 (\frac{- 1}{5})$

解题步骤 5.3.2

从 $35$ 中分解出因数 $5$ 。

$7 e + 5 (7) \frac{- 1}{5}$

解题步骤 5.3.3

约去公因数。

$7 e + 5 \cdot 7 \frac{- 1}{5}$

解题步骤 5.3.4

重写表达式。

$7 e + 7 \cdot - 1$

解题步骤 5.4

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$7 e - 7$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$7 e - 7$

小数形式：

$12.02797279 \dots$

解题步骤 7

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