微积分学示例

$\int_{0}^{2} \frac{2 t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{0}^{2} \frac{t}{{(t - 3)}^{2}} d t$

解题步骤 2

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 2.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 2.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$

解题步骤 2.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 ${(t - 3)}^{2}$ 。

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

解题步骤 2.1.4

约去 ${(t - 3)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

约去公因数。

$\frac{t {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

解题步骤 2.1.4.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$t = \frac{(A) {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

解题步骤 2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 2.1.5.1

约去 ${(t - 3)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.5.1.1

约去公因数。

$t = \frac{A {(t - 3)}^{2}}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

解题步骤 2.1.5.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$t = A + \frac{(B) {(t - 3)}^{2}}{t - 3}$

解题步骤 2.1.5.2

约去 ${(t - 3)}^{2}$ 和 $t - 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.5.2.1

从 $(B) {(t - 3)}^{2}$ 中分解出因数 $t - 3$ 。

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{t - 3}$

解题步骤 2.1.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.5.2.2.1

乘以 $1$ 。

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

解题步骤 2.1.5.2.2.2

约去公因数。

$t = A + \frac{(t - 3) (B (t - 3))}{(t - 3) \cdot 1}$

解题步骤 2.1.5.2.2.3

重写表达式。

$t = A + \frac{B (t - 3)}{1}$

解题步骤 2.1.5.2.2.4

用 $B (t - 3)$ 除以 $1$ 。

$t = A + B (t - 3)$

解题步骤 2.1.5.3

运用分配律。

$t = A + B t + B \cdot - 3$

解题步骤 2.1.5.4

将 $- 3$ 移到 $B$ 的左侧。

$t = A + B t - 3 B$

解题步骤 2.1.6

将 $A$ 和 $B t$ 重新排序。

$t = B t + A - 3 B$

解题步骤 2.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.2.1

使方程两边 $t$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = B$

解题步骤 2.2.2

使方程两边不含 $t$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A - 3 B$

解题步骤 2.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

$1 = B$

$0 = A - 3 B$

解题步骤 2.3

求解方程组。

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解题步骤 2.3.1

将方程重写为 $B = 1$ 。

$B = 1$

$0 = A - 3 B$

解题步骤 2.3.2

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

使用 $1$ 替换 $0 = A - 3 B$ 中所有出现的 $B$ .

$0 = A - 3 \cdot 1$

$B = 1$

解题步骤 2.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.2.1

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

$0 = A - 3$

$B = 1$

解题步骤 2.3.3

在 $0 = A - 3$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

将方程重写为 $A - 3 = 0$ 。

$A - 3 = 0$

$B = 1$

解题步骤 2.3.3.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$A = 3$

$B = 1$

$A = 3$

$B = 1$

解题步骤 2.3.4

求解方程组。

$A = 3 B = 1$

解题步骤 2.3.5

列出所有解。

$A = 3, B = 1$

解题步骤 2.4

将 $\frac{A}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{B}{t - 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3}$

解题步骤 2.5

去掉表达式中的零。

$2 \int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} + \frac{1}{t - 3} d t$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$2 (\int_{0}^{2} \frac{3}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

解题步骤 4

由于 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$2 (3 \int_{0}^{2} \frac{1}{{(t - 3)}^{2}} d t + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

解题步骤 5

使 $u_{1} = t - 3$ 。然后使 $d u_{1} = d t$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{1} = t - 3$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d t}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $t - 3$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $t - 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

解题步骤 5.1.4

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u_{1} = t - 3$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 0 - 3$

解题步骤 5.3

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$u_{lower} = - 3$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u_{1} = t - 3$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 - 3$

解题步骤 5.5

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 5.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 ${u_{1}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

解题步骤 6.2

将 ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (3 \int_{- 3}^{- 1} {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

解题步骤 7

根据幂法则， ${u_{1}}^{- 2}$ 对 $u_{1}$ 的积分是 $- {u_{1}}^{- 1}$ 。

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{0}^{2} \frac{1}{t - 3} d t)$

解题步骤 8

使 $u_{2} = t - 3$ 。然后使 $d u_{2} = d t$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{2} = t - 3$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d t}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $t - 3$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t - 3]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $t - 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d t} [- 3]$

解题步骤 8.1.4

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 8.2

将下限代入替换 $u_{2} = t - 3$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 0 - 3$

解题步骤 8.3

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$u_{lower} = - 3$

解题步骤 8.4

将上限代入替换 $u_{2} = t - 3$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = 2 - 3$

解题步骤 8.5

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 8.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 1$

解题步骤 8.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \int_{- 3}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

解题步骤 9

$\frac{1}{u_{2}}$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $\ln (| u_{2} |)$ 。

$2 (3 (- {u_{1}}^{- 1}]_{- 3}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

解题步骤 10

代入并化简。

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解题步骤 10.1

计算 $- {u_{1}}^{- 1}$ 在 $- 1$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + \ln (| u_{2} |)]_{- 3}^{- 1})$

解题步骤 10.2

计算 $\ln (| u_{2} |)$ 在 $- 1$ 处和在 $- 3$ 处的值。

$2 (3 ((- {(- 1)}^{- 1}) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 10.3

化简。

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解题步骤 10.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 (3 (- \frac{1}{- 1} + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 10.3.2

移动 $\frac{1}{- 1}$ 中分母的负号。

$2 (3 (- (- 1 \cdot 1) + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 10.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (3 (- - 1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 10.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (3 (1 + {(- 3)}^{- 1}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 10.3.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 (3 (1 + \frac{1}{- 3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 10.3.6

将负号移到分数的前面。

$2 (3 (1 - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 10.3.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$2 (3 (\frac{3}{3} - \frac{1}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 10.3.8

在公分母上合并分子。

$2 (3 \frac{3 - 1}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 10.3.9

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$2 (3 (\frac{2}{3}) + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 10.3.10

组合 $3$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 10.3.11

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 (\frac{6}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 10.3.12

约去 $6$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.3.12.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 10.3.12.2

约去公因数。

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解题步骤 10.3.12.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 10.3.12.2.2

约去公因数。

$2 (\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 10.3.12.2.3

重写表达式。

$2 (\frac{2}{1} + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 10.3.12.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 (2 + (\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 3 |))$

$2 (2 + \ln (| - 1 |) - \ln (| - 3 |))$

解题步骤 11

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$2 (2 + \ln (\frac{| - 1 |}{| - 3 |}))$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 1$ 和 $0$ 之间的距离为 $1$ 。

$2 (2 + \ln (\frac{1}{| - 3 |}))$

解题步骤 12.1.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 3$ 和 $0$ 之间的距离为 $3$ 。

$2 (2 + \ln (\frac{1}{3}))$

解题步骤 12.2

运用分配律。

$2 \cdot 2 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

解题步骤 12.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$4 + 2 \ln (\frac{1}{3})$

小数形式：

$1.80277542 \dots$

解题步骤 14

微积分学 示例

微积分学示例