微积分学示例

$\int_{0}^{2} | z - z^{2} | d z$

解题步骤 1

根据 $z - z^{2}$ 在某些位置是正的和负的，来分解积分。

$\int_{0}^{1} z - z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} z d z + \int_{0}^{1} - z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

解题步骤 3

根据幂法则， $z$ 对 $z$ 的积分是 $\frac{1}{2} z^{2}$ 。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

解题步骤 4

由于 $- 1$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} z^{2} d z + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

解题步骤 5

根据幂法则， $z^{2}$ 对 $z$ 的积分是 $\frac{1}{3} z^{3}$ 。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{1}) + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $z^{3}$ 。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{1}^{2} - z + z^{2} d z$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{1}^{2} - z d z + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

解题步骤 8

由于 $- 1$ 对于 $z$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - \int_{1}^{2} z d z + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

解题步骤 9

根据幂法则， $z$ 对 $z$ 的积分是 $\frac{1}{2} z^{2}$ 。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{1}{2} z^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

解题步骤 10

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $z^{2}$ 。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} z^{2} d z$

解题步骤 11

根据幂法则， $z^{2}$ 对 $z$ 的积分是 $\frac{1}{3} z^{3}$ 。

$\frac{1}{2} z^{2}]_{0}^{1} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

解题步骤 12

代入并化简。

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解题步骤 12.1

计算 $\frac{1}{2} z^{2}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{z^{3}}{3}]_{0}^{1}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

解题步骤 12.2

计算 $\frac{z^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{z^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

解题步骤 12.3

计算 $\frac{z^{2}}{2}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} z^{3}]_{1}^{2}$

解题步骤 12.4

计算 $\frac{1}{3} z^{3}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5

化简。

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解题步骤 12.5.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.4

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.5

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.6

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.9

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.9.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.9.2

约去公因数。

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解题步骤 12.5.9.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.9.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.9.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.9.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} - 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.10

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{3} + 0) - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.11

将 $\frac{1}{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.12

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.13

要将 $- \frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.14

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 12.5.14.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.14.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.14.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.14.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{6} - \frac{2}{6} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.15

在公分母上合并分子。

$\frac{3 - 2}{6} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.16

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{6} - (\frac{2^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.17

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{6} - (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.18

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.18.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.18.2

约去公因数。

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解题步骤 12.5.18.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.18.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.18.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{6} - (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.18.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{6} - (2 - \frac{1^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.19

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{6} - (2 - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.20

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{6} - (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.21

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{6} - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.22

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{6} - \frac{2 \cdot 2 - 1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.23

化简分子。

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解题步骤 12.5.23.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{6} - \frac{4 - 1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.23.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{6} - \frac{3}{2} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.24

要将 $- \frac{3}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{6} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.25

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 12.5.25.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{6} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.25.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{6} - \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.26

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - 3 \cdot 3}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.27

化简分子。

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解题步骤 12.5.27.1

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1 - 9}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.27.2

从 $1$ 中减去 $9$ 。

$\frac{- 8}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.28

约去 $- 8$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.28.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 4)}{6} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.28.2

约去公因数。

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解题步骤 12.5.28.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.28.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.28.2.3

重写表达式。

$\frac{- 4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.29

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.30

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.31

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $8$ 。

$- \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

解题步骤 12.5.32

一的任意次幂都为一。

$- \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1$

解题步骤 12.5.33

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{4}{3} + \frac{8}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 12.5.34

在公分母上合并分子。

$- \frac{4}{3} + \frac{8 - 1}{3}$

解题步骤 12.5.35

从 $8$ 中减去 $1$ 。

$- \frac{4}{3} + \frac{7}{3}$

解题步骤 12.5.36

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4 + 7}{3}$

解题步骤 12.5.37

将 $- 4$ 和 $7$ 相加。

$\frac{3}{3}$

解题步骤 12.5.38

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.5.38.1

约去公因数。

$\frac{3}{3}$

解题步骤 12.5.38.2

重写表达式。

$1$

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例