微积分学示例

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} d x$

解题步骤 1

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4})$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4})$

解题步骤 4.2

代入并化简。

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解题步骤 4.2.1

计算 $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.3.1

约去公因数。

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.3.2

重写表达式。

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.5

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3})$

解题步骤 4.2.2.6

一的任意次幂都为一。

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3})$

解题步骤 4.2.2.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 4.2.2.8

在公分母上合并分子。

$3 \frac{16 - 2}{3}$

解题步骤 4.2.2.9

从 $16$ 中减去 $2$ 。

$3 (\frac{14}{3})$

解题步骤 4.2.2.10

组合 $3$ 和 $\frac{14}{3}$ 。

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

解题步骤 4.2.2.11

将 $3$ 乘以 $14$ 。

$\frac{42}{3}$

解题步骤 4.2.2.12

约去 $42$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.12.1

从 $42$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 14}{3}$

解题步骤 4.2.2.12.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.12.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)}$

解题步骤 4.2.2.12.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.2.12.2.3

重写表达式。

$\frac{14}{1}$

解题步骤 4.2.2.12.2.4

用 $14$ 除以 $1$ 。

$14$

解题步骤 5

微积分学 示例

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