微积分学示例

$\int_{1}^{8} \frac{8}{3 x^{5}} d x$

解题步骤 1

由于 $\frac{8}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{8}{3}$ 移到积分外。

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} \frac{1}{x^{5}} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $x^{5}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} {(x^{5})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{5})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} x^{5 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{8}{3} \int_{1}^{8} x^{- 5} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{- 5}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 。

$\frac{8}{3} - \frac{1}{4} x^{- 4}]_{1}^{8}$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ 在 $8$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{8}{3} ((- \frac{1}{4} \cdot 8^{- 4}) + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{8^{4}} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

解题步骤 4.2.2

对 $8$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4096} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

解题步骤 4.2.3

将 $\frac{1}{4096}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{4096 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

解题步骤 4.2.4

将 $4096$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot 1^{- 4})$

解题步骤 4.2.5

一的任意次幂都为一。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot 1)$

解题步骤 4.2.6

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4})$

解题步骤 4.2.7

要将 $\frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4096}{4096}$ 。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4096}{4096})$

解题步骤 4.2.8

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16384$ 的形式。

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解题步骤 4.2.8.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{4096}{4096}$ 。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{4096}{4 \cdot 4096})$

解题步骤 4.2.8.2

将 $4$ 乘以 $4096$ 。

$\frac{8}{3} (- \frac{1}{16384} + \frac{4096}{16384})$

解题步骤 4.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{8}{3} \cdot \frac{- 1 + 4096}{16384}$

解题步骤 4.2.10

将 $- 1$ 和 $4096$ 相加。

$\frac{8}{3} \cdot \frac{4095}{16384}$

解题步骤 4.2.11

将 $\frac{8}{3}$ 乘以 $\frac{4095}{16384}$ 。

$\frac{8 \cdot 4095}{3 \cdot 16384}$

解题步骤 4.2.12

将 $8$ 乘以 $4095$ 。

$\frac{32760}{3 \cdot 16384}$

解题步骤 4.2.13

将 $3$ 乘以 $16384$ 。

$\frac{32760}{49152}$

解题步骤 4.2.14

约去 $32760$ 和 $49152$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.14.1

从 $32760$ 中分解出因数 $24$ 。

$\frac{24 (1365)}{49152}$

解题步骤 4.2.14.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.14.2.1

从 $49152$ 中分解出因数 $24$ 。

$\frac{24 \cdot 1365}{24 \cdot 2048}$

解题步骤 4.2.14.2.2

约去公因数。

$\frac{24 \cdot 1365}{24 \cdot 2048}$

解题步骤 4.2.14.2.3

重写表达式。

$\frac{1365}{2048}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1365}{2048}$

小数形式：

$0.66650390 \dots$

解题步骤 6

微积分学 示例

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