微积分学示例

$\int_{1}^{4} \sqrt{16 x^{5}} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

将 $16 x^{5}$ 重写为 ${(4 x^{2})}^{2} x$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} x^{5}} d x$

解题步骤 1.1.2

因式分解出 $x^{4}$ 。

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} (x^{4} x)} d x$

解题步骤 1.1.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\int_{1}^{4} \sqrt{4^{2} ({(x^{2})}^{2} x)} d x$

解题步骤 1.1.4

将 $4^{2} {(x^{2})}^{2}$ 重写为 ${(4 x^{2})}^{2}$ 。

$\int_{1}^{4} \sqrt{{(4 x^{2})}^{2} x} d x$

解题步骤 1.2

从根式下提出各项。

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} \sqrt{x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} 4 x^{2} x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 2.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{1}^{4} 4 (x^{\frac{1}{2}} x^{2}) d x$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2} d x$

解题步骤 2.2.3

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

解题步骤 2.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} d x$

解题步骤 2.2.5

在公分母上合并分子。

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}} d x$

解题步骤 2.2.6

化简分子。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{1 + 4}{2}} d x$

解题步骤 2.2.6.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\int_{1}^{4} 4 x^{\frac{5}{2}} d x$

解题步骤 3

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{1}^{4} x^{\frac{5}{2}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{\frac{5}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}$ 。

$4 (\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}}]_{1}^{4})$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{2}{7}$ 和 $x^{\frac{7}{2}}$ 。

$4 (\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}]_{1}^{4})$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $\frac{2 x^{\frac{7}{2}}}{7}$ 在 $4$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{7}{2}}}{7}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$4 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{7}{2}}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

解题步骤 5.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

解题步骤 5.2.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.3.1

约去公因数。

$4 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{7}{2})}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

解题步骤 5.2.2.3.2

重写表达式。

$4 (\frac{2 \cdot 2^{7}}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

解题步骤 5.2.2.4

对 $2$ 进行 $7$ 次方运算。

$4 (\frac{2 \cdot 128}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

解题步骤 5.2.2.5

将 $2$ 乘以 $128$ 。

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{7}{2}}}{7})$

解题步骤 5.2.2.6

一的任意次幂都为一。

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2 \cdot 1}{7})$

解题步骤 5.2.2.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 (\frac{256}{7} - \frac{2}{7})$

解题步骤 5.2.2.8

在公分母上合并分子。

$4 \frac{256 - 2}{7}$

解题步骤 5.2.2.9

从 $256$ 中减去 $2$ 。

$4 (\frac{254}{7})$

解题步骤 5.2.2.10

组合 $4$ 和 $\frac{254}{7}$ 。

$\frac{4 \cdot 254}{7}$

解题步骤 5.2.2.11

将 $4$ 乘以 $254$ 。

$\frac{1016}{7}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1016}{7}$

小数形式：

$145.14285714 \dots$

带分数形式：

$145 \frac{1}{7}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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