微积分学示例

$\int u^{2} \sin (2 u) d u$

解题步骤 1

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u^{2}$ ， $dv = \sin (2 u)$ 。

$u^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 u)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\cos (2 u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$u^{2} (- \frac{\cos (2 u)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

解题步骤 2.2

组合 $u^{2}$ 和 $\frac{\cos (2 u)}{2}$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 u) (2 u) d u$

解题步骤 3

由于 $- \frac{1}{2} \cdot 2$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- \frac{1}{2} \cdot 2$ 移到积分外。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int \cos (2 u) (u) d u)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int \cos (2 u) (u) d u)$

解题步骤 4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 u) (u) d u)$

解题步骤 4.3

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \cos (2 u) (u) d u)$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \cos (2 u) (u) d u)$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \cos (2 u) (u) d u)$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - (\frac{- 1}{1} \int \cos (2 u) (u) d u)$

解题步骤 4.3.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} - - \int \cos (2 u) (u) d u$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + 1 \int \cos (2 u) (u) d u$

解题步骤 4.5

将 $\int \cos (2 u) (u) d u$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \int \cos (2 u) (u) d u$

解题步骤 5

利用公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ 来分部求积分，其中 $w = u$ ， $dv = \cos (2 u)$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + u (\frac{1}{2} \sin (2 u)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 u)$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + u \frac{\sin (2 u)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

解题步骤 6.2

组合 $u$ 和 $\frac{\sin (2 u)}{2}$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 u) d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 u) d u)$

解题步骤 8

使 $u_{1} = 2 u$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d u$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d u$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u_{1} = 2 u$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d u}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $2 u$ 求导。

$\frac{d}{d u} [2 u]$

解题步骤 8.1.2

因为 $2$ 对于 $u$ 是常数，所以 $2 u$ 对 $u$ 的导数是 $2 \frac{d}{d u} [u]$ 。

$2 \frac{d}{d u} [u]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 8.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 8.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 9

组合 $\sin (u_{1})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1}$

解题步骤 10

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 11.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u_{1}) d u_{1}$

解题步骤 12

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $- \cos (u_{1})$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{1}) + C)$

解题步骤 13

将 $- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u_{1}) + C)$ 重写为 $- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + C$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (u_{1})}{4} + C$

解题步骤 14

使用 $2 u$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{u^{2} \cos (2 u)}{2} + \frac{u \sin (2 u)}{2} + \frac{\cos (2 u)}{4} + C$

解题步骤 15

重新排序项。

$- \frac{1}{2} u^{2} \cos (2 u) + \frac{1}{2} u \sin (2 u) + \frac{1}{4} \cos (2 u) + C$

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