微积分学示例

$\int \sqrt{y} (4 - 3 y - 2 y^{2}) d y$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = 4 - 3 y - 2 y^{2}$ ， $d v = \sqrt{y}$ 。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} (- 4 y - 3) d y$

解题步骤 2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $y^{\frac{3}{2}}$ 。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} (- 4 y - 3) d y$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $y^{\frac{3}{2}}$ 。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} (- 4 y - 3) d y$

解题步骤 3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

运用分配律。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} (- 4 y) + \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 3 d y$

解题步骤 3.2

将 $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $- 4$ 重新排序。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - 4 \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} y + \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot - 3 d y$

解题步骤 3.3

将 $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $- 3$ 重新排序。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - 4 \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} y - 3 \cdot \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

解题步骤 3.4

组合 $- 4$ 和 $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 4 (2 y^{\frac{3}{2}})}{3} y - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

解题步骤 3.5

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2}}}{3} y - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

解题步骤 3.6

组合 $\frac{- 8 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ 和 $y$ 。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2}} y}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

解题步骤 3.7

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 (y^{\frac{3}{2}} y^{1})}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2} + 1}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

解题步骤 3.9

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

解题步骤 3.10

在公分母上合并分子。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{3 + 2}{2}}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

解题步骤 3.11

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{5}{2}}}{3} - 3 \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

解题步骤 3.12

组合 $- 3$ 和 $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ 。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 3 (2 y^{\frac{3}{2}})}{3} d y$

解题步骤 3.13

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{- 8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 6 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将负号移到分数的前面。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 6 y^{\frac{3}{2}}}{3} d y$

解题步骤 4.2

从 $- 6 y^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (- 2 y^{\frac{3}{2}})}{3} d y$

解题步骤 4.3

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (- 2 y^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} d y$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{3 (- 2 y^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} d y$

解题步骤 4.3.3

重写表达式。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{- 2 y^{\frac{3}{2}}}{1} d y$

解题步骤 4.3.4

用 $- 2 y^{\frac{3}{2}}$ 除以 $1$ 。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{3}{2}} d y$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (\int - \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} d y + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \int \frac{8 y^{\frac{5}{2}}}{3} d y + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

解题步骤 7

由于 $\frac{8}{3}$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $\frac{8}{3}$ 移到积分外。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- (\frac{8}{3} \int y^{\frac{5}{2}} d y) + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

解题步骤 8

根据幂法则， $y^{\frac{5}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}}$ 。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2}{7} y^{\frac{7}{2}} + C) + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

解题步骤 9

组合 $\frac{2}{7}$ 和 $y^{\frac{7}{2}}$ 。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) + \int - 2 y^{\frac{3}{2}} d y)$

解题步骤 10

由于 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - 2 \int y^{\frac{3}{2}} d y)$

解题步骤 11

根据幂法则， $y^{\frac{3}{2}}$ 对 $y$ 的积分是 $\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}}$ 。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - 2 (\frac{2}{5} y^{\frac{5}{2}} + C))$

解题步骤 12

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $y^{\frac{5}{2}}$ 。

$(4 - 3 y - 2 y^{2}) \frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} (\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} + C) - 2 (\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

解题步骤 12.2

化简。

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} + \frac{y^{\frac{7}{2}} \cdot - 4}{3} - (- \frac{8}{3} \cdot \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 12.3

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.3.1

将 $- 4$ 移到 $y^{\frac{7}{2}}$ 的左侧。

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4 \cdot y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} \cdot \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 12.3.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{8}{3} \cdot \frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 12.3.3

将 $\frac{2 y^{\frac{7}{2}}}{7}$ 乘以 $\frac{8}{3}$ 。

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{2 y^{\frac{7}{2}} \cdot 8}{7 \cdot 3} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 12.3.4

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{7 \cdot 3} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 12.3.5

将 $7$ 乘以 $3$ 。

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - 2 \frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 12.3.6

组合 $- 2$ 和 $\frac{2 y^{\frac{5}{2}}}{5}$ 。

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{- 2 (2 y^{\frac{5}{2}})}{5}) + C$

解题步骤 12.3.7

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} + \frac{- 4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 12.3.8

将负号移到分数的前面。

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) + C$

解题步骤 12.3.9

要将 $- (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5})$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot \frac{3}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

解题步骤 12.3.10

组合 $- (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5})$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

解题步骤 12.3.11

在公分母上合并分子。

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}} - (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

解题步骤 12.3.12

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{8 y^{\frac{3}{2}} - 3 (- \frac{16 y^{\frac{7}{2}}}{21} - \frac{4 y^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4 y^{\frac{7}{2}}}{3} + C$

解题步骤 13

重新排序项。

$\frac{1}{3} (8 y^{\frac{3}{2}} - 3 (- \frac{16}{21} y^{\frac{7}{2}} - \frac{4}{5} y^{\frac{5}{2}})) - 2 y^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} y^{\frac{7}{2}} + C$

微积分学 示例

微积分学示例