微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x}$

解题步骤 1.1.2

当对数趋于无穷大时，值趋于 $\infty$ 。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

解题步骤 1.1.3

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$

解题步骤 2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$0$

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