微积分学示例

$y = e^{a x} \sin (b x)$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d b} (y) = \frac{d}{d b} (e^{a x} \sin (b x))$

解题步骤 2

$y$ 对 $b$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $e^{a x}$ 对于 $b$ 是常数，所以 $e^{a x} \sin (b x)$ 对 $b$ 的导数是 $e^{a x} \frac{d}{d b} [\sin (b x)]$ 。

$e^{a x} \frac{d}{d b} [\sin (b x)]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d b} [f (g (b))]$ 等于 $f' (g (b)) g' (b)$ ，其中 $f (b) = \sin (b)$ 且 $g (b) = b x$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $b x$ 。

$e^{a x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d b} [b x])$

解题步骤 3.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$e^{a x} (\cos (u) \frac{d}{d b} [b x])$

解题步骤 3.2.3

使用 $b x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{a x} (\cos (b x) \frac{d}{d b} [b x])$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

因为 $x$ 对于 $b$ 是常数，所以 $b x$ 对 $b$ 的导数是 $x \frac{d}{d b} [b]$ 。

$e^{a x} (\cos (b x) (x \frac{d}{d b} [b]))$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ 等于 $n b^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{a x} (\cos (b x) (x \cdot 1))$

解题步骤 3.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$e^{a x} (\cos (b x) x)$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

重新排序 $e^{a x} (\cos (b x) x)$ 的因式。

$e^{a x} x \cos (b x)$

解题步骤 3.4.2

将 $e^{a x} x \cos (b x)$ 中的因式重新排序。

$x e^{a x} \cos (b x)$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = x e^{a x} \cos (b x)$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d b}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d b} = x e^{a x} \cos (b x)$

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