微积分学示例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) \sin (\sin (2 x)) d x$

解题步骤 1

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u_{1} = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

解题步骤 1.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u_{1} = 2 x$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

解题步骤 1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

解题步骤 1.5.2

约去公因数。

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.5.3

重写表达式。

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (u_{1})$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1})}{2} \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{\cos (u_{1})}{2}$ 和 $\sin (\sin (u_{1}))$ 。

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1}))}{2} d u_{1}$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u_{1}) \sin (\sin (u_{1})) d u_{1}$

解题步骤 4

使 $u_{2} = \sin (u_{1})$ 。然后使 $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ ，以便 $\frac{1}{\cos (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u_{2} = \sin (u_{1})$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\sin (u_{1})$ 求导。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

解题步骤 4.1.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1})$

解题步骤 4.2

将下限代入替换 $u_{2} = \sin (u_{1})$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{lower} = \sin (0)$

解题步骤 4.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 4.4

将上限代入替换 $u_{2} = \sin (u_{1})$ 中的 $u_{1}$ 。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 4.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$u_{upper} = 1$

解题步骤 4.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

解题步骤 4.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \sin (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 5

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的积分为 $- \cos (u_{2})$ 。

$\frac{1}{2} - \cos (u_{2})]_{0}^{1}$

解题步骤 6

计算 $- \cos (u_{2})$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + \cos (0))$

解题步骤 7

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{1}{2} (- \cos (1) + 1)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\cos (1)$ 。

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot 0.5403023 + 1)$

解题步骤 8.2

将 $- 1$ 乘以 $0.5403023$ 。

$\frac{1}{2} (- 0.5403023 + 1)$

解题步骤 8.3

将 $- 0.5403023$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot 0.45969769$

解题步骤 8.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $0.45969769$ 。

$\frac{0.45969769}{2}$

解题步骤 8.5

用 $0.45969769$ 除以 $2$ 。

$0.22984884$

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