微积分学示例

$e^{4 x} + e^{- x}$

解题步骤 1

将 $e^{4 x} + e^{- x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $e^{4 x} + e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.2.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.2.5

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 2.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 2.3.5

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

解题步骤 2.3.6

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $4 e^{4 x} - e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 e^{4 x}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 e^{4 x}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 3.2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 4 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} \frac{d}{d x} (4 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 3.2.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 3.2.5

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 4 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 3.2.6

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$f'' (x) = 4 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 3.2.7

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 3.3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

解题步骤 3.3.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

解题步骤 3.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

解题步骤 3.3.6

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

解题步骤 3.3.7

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

解题步骤 3.3.8

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + 1 e^{- x}$

解题步骤 3.3.9

将 $e^{- x}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 16 e^{4 x} + e^{- x}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

根据加法法则， $e^{4 x} + e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 5.1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 5.1.2.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 5.1.2.1.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 5.1.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 5.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 5.1.2.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 5.1.2.5

将 $4$ 移到 $e^{4 x}$ 的左侧。

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 5.1.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- x$ 。

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 5.1.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 5.1.3.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 5.1.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 5.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

解题步骤 5.1.3.5

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

解题步骤 5.1.3.6

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 e^{4 x} - e^{- x}$ 。

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

解题步骤 6.2

通过在等式两边同时加上 $- e^{- x}$ 的方法来将其移到等式右边。

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

解题步骤 6.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

解题步骤 6.4

展开左边。

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解题步骤 6.4.1

将 $\ln (4 e^{4 x})$ 重写为 $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ 。

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

解题步骤 6.4.2

通过将 $4 x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{4 x})$ 。

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

解题步骤 6.4.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

解题步骤 6.4.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

解题步骤 6.5

展开右边。

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解题步骤 6.5.1

通过将 $- x$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- x})$ 。

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

解题步骤 6.5.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

解题步骤 6.5.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\ln (4) + 4 x = - x$

解题步骤 6.6

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 6.6.1

在等式两边都加上 $x$ 。

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

解题步骤 6.6.2

将 $4 x$ 和 $x$ 相加。

$\ln (4) + 5 x = 0$

解题步骤 6.7

从等式两边同时减去 $\ln (4)$ 。

$5 x = - \ln (4)$

解题步骤 6.8

将 $5 x = - \ln (4)$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 6.8.1

将 $5 x = - \ln (4)$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

解题步骤 6.8.2

化简左边。

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解题步骤 6.8.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

解题步骤 6.8.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

解题步骤 6.8.3

化简右边。

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解题步骤 6.8.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

解题步骤 9

计算在 $x = - \frac{\ln (4)}{5}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$16 e^{4 (- \frac{\ln (4)}{5})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

解题步骤 10

化简每一项。

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解题步骤 10.1

将 $\frac{\ln (4)}{5}$ 重写为 $\frac{1}{5} \ln (4)$ 。

$16 e^{4 (- (\frac{1}{5} \ln (4)))} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

解题步骤 10.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{5} \ln (4)$ 。

$16 e^{4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

解题步骤 10.3

乘以 $4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ 。

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解题步骤 10.3.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$16 e^{- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

解题步骤 10.3.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})$ 。

$16 e^{- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

解题步骤 10.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})$ 。

$16 e^{\ln ({({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

解题步骤 10.5

指数函数和对数函数互为反函数。

$16 {({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

解题步骤 10.6

将 ${({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 {(4^{\frac{1}{5}})}^{4 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

解题步骤 10.6.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$16 {(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

解题步骤 10.7

将 ${(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 \cdot 4^{\frac{1}{5} \cdot - 4} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

解题步骤 10.7.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $- 4$ 。

$16 \cdot 4^{\frac{- 4}{5}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

解题步骤 10.7.3

将负号移到分数的前面。

$16 \cdot 4^{- \frac{4}{5}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

解题步骤 10.8

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$16 \cdot \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

解题步骤 10.9

组合 $16$ 和 $\frac{1}{4^{\frac{4}{5}}}$ 。

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \frac{\ln (4)}{5})}$

解题步骤 10.10

将 $\frac{\ln (4)}{5}$ 重写为 $\frac{1}{5} \ln (4)$ 。

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- - (\frac{1}{5} \ln (4))}$

解题步骤 10.11

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{5} \ln (4)$ 。

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- - \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

解题步骤 10.12

乘以 $- - \ln (4^{\frac{1}{5}})$ 。

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解题步骤 10.12.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{1 \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

解题步骤 10.12.2

将 $\ln (4^{\frac{1}{5}})$ 乘以 $1$ 。

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{\ln (4^{\frac{1}{5}})}$

解题步骤 10.13

指数函数和对数函数互为反函数。

$\frac{16}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{\ln (4)}{5}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = - \frac{\ln (4)}{5}$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

Simplify $- \frac{\ln (4)}{5}$ to substitute in $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ .

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解题步骤 12.1.1

将 $\frac{\ln (4)}{5}$ 重写为 $\frac{1}{5} \ln (4)$ 。

$y = - (\frac{1}{5} \cdot \ln (4))$

解题步骤 12.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{5} \ln (4)$ 。

$y = - \ln (4^{\frac{1}{5}})$

解题步骤 12.2

使用表达式中的 $- \ln (4^{\frac{1}{5}})$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

解题步骤 12.3

化简结果。

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解题步骤 12.3.1

化简每一项。

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解题步骤 12.3.1.1

乘以 $4 (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ 。

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解题步骤 12.3.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

解题步骤 12.3.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 4 \ln (4^{\frac{1}{5}})$ 。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

解题步骤 12.3.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- \ln ({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})$ 。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = e^{\ln ({({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

解题步骤 12.3.1.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

解题步骤 12.3.1.4

将 ${({(4^{\frac{1}{5}})}^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 12.3.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {(4^{\frac{1}{5}})}^{4 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

解题步骤 12.3.1.4.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = {(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

解题步骤 12.3.1.5

将 ${(4^{\frac{1}{5}})}^{- 4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 12.3.1.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{\frac{1}{5} \cdot - 4} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

解题步骤 12.3.1.5.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $- 4$ 。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{\frac{- 4}{5}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

解题步骤 12.3.1.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = 4^{- \frac{4}{5}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

解题步骤 12.3.1.6

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))}$

解题步骤 12.3.1.7

乘以 $- (- \ln (4^{\frac{1}{5}}))$ 。

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解题步骤 12.3.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{1 \ln (4^{\frac{1}{5}})}$

解题步骤 12.3.1.7.2

将 $\ln (4^{\frac{1}{5}})$ 乘以 $1$ 。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + e^{\ln (4^{\frac{1}{5}})}$

解题步骤 12.3.1.8

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (- \ln (4^{\frac{1}{5}})) = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 12.3.2

最终答案为 $\frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$ 。

$y = \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 13

这些是 $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ 的局部极值。

$(- \frac{\ln (4)}{5}, \frac{1}{4^{\frac{4}{5}}} + 4^{\frac{1}{5}})$ 是一个局部最小值

解题步骤 14

微积分学 示例

微积分学示例