微积分学示例

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{9 + 4 \sec^{2} (x)} d x$

解题步骤 1

使 $u = \sec (x)$ 。然后使 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \sec (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\sec (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\sec (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\sec (x) \tan (x)$ 。

$\sec (x) \tan (x)$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{9 + 4 u^{2}} d u$

解题步骤 2

从 $9 + 4 u^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.1

从 $9$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 u^{2}} d u$

解题步骤 2.2

从 $4 u^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})} d u$

解题步骤 2.3

从 $4 (\frac{9}{4}) + 4 (u^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\int \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + u^{2})} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{9}{4} + u^{2}} d u$

解题步骤 4

将 $\frac{9}{4}$ 重写为 ${(\frac{3}{2})}^{2}$ 。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}} d u$

解题步骤 5

$\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + u^{2}}$ 对 $u$ 的积分为 $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简。

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解题步骤 6.1.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

解题步骤 6.1.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u}{\frac{3}{2}}) + C)$

解题步骤 6.1.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (u \frac{2}{3}) + C)$

解题步骤 6.1.4

组合 $u$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{u \cdot 2}{3}) + C)$

解题步骤 6.1.5

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot u}{3}) + C)$

解题步骤 6.1.6

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $\arctan (\frac{2 u}{3})$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{4} (\frac{2 \arctan (\frac{2 u}{3})}{3} + C)$ 重写为 $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

解题步骤 6.3

化简。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{4 \cdot 3} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

解题步骤 6.3.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

解题步骤 6.3.3

约去 $2$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{12} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

解题步骤 6.3.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

解题步骤 6.3.3.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

解题步骤 6.3.3.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} u) + C$

解题步骤 7

使用 $\sec (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{6} \arctan (\frac{2}{3} \sec (x)) + C$

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