微积分学示例

$\int e^{x} \cos (2 x) d x$

解题步骤 1

将 $e^{x}$ 和 $\cos (2 x)$ 重新排序。

$\int \cos (2 x) e^{x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (2 x)$ ， $d v = e^{x}$ 。

$\cos (2 x) e^{x} - \int e^{x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

解题步骤 3

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\cos (2 x) e^{x} - (- 2 \int e^{x} (\sin (2 x)) d x)$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (2 x) e^{x} + 2 \int e^{x} (\sin (2 x)) d x$

解题步骤 4.2

将 $e^{x}$ 和 $\sin (2 x)$ 重新排序。

$\cos (2 x) e^{x} + 2 \int \sin (2 x) e^{x} d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (2 x)$ ， $d v = e^{x}$ 。

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - \int e^{x} (2 \cos (2 x)) d x)$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - (2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x))$

解题步骤 7

通过相乘进行化简。

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解题步骤 7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x} - 2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x)$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x}) + 2 (- 2 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x)$

解题步骤 7.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x}) - 4 \int e^{x} (\cos (2 x)) d x$

解题步骤 8

求解 $\int e^{x} \cos (2 x) d x$ ，我们发现 $\int e^{x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x})}{5}$ 。

$\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 (\sin (2 x) e^{x})}{5} + C$

解题步骤 9

将 $\frac{\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}}{5} + C$ 重写为 $\frac{1}{5} (\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}) + C$ 。

$\frac{1}{5} (\cos (2 x) e^{x} + 2 \sin (2 x) e^{x}) + C$

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