微积分学示例

$\int e^{4 x} \cos (5 x) d x$

解题步骤 1

将 $e^{4 x}$ 和 $\cos (5 x)$ 重新排序。

$\int \cos (5 x) e^{4 x} d x$

解题步骤 2

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \cos (5 x)$ ， $d v = e^{4 x}$ 。

$\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (- 5 \sin (5 x)) d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4} \cdot - 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4} \cdot - 5$ 移到积分外。

$\cos (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$\cos (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

解题步骤 4.2

组合 $\cos (5 x)$ 和 $\frac{e^{4 x}}{4}$ 。

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot - 5 \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 5$ 。

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} \int e^{4 x} (\sin (5 x)) d x)$

解题步骤 4.4

将 $e^{4 x}$ 和 $\sin (5 x)$ 重新排序。

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} \int \sin (5 x) e^{4 x} d x)$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sin (5 x)$ ， $d v = e^{4 x}$ 。

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} (\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (5 \cos (5 x)) d x))$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{4} \cdot 5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4} \cdot 5$ 移到积分外。

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} (\sin (5 x) (\frac{1}{4} e^{4 x}) - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)))$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $e^{4 x}$ 。

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} (\sin (5 x) \frac{e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)))$

解题步骤 7.2

组合 $\sin (5 x)$ 和 $\frac{e^{4 x}}{4}$ 。

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} (\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \cdot 5 \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)))$

解题步骤 7.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $5$ 。

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{- 5}{4} (\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)))$

解题步骤 7.4

运用分配律。

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 5}{4} \cdot \frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 5}{4} (- (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x))$

解题步骤 7.5

将 $\frac{\sin (5 x) e^{4 x}}{4}$ 乘以 $\frac{- 5}{4}$ 。

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{4 \cdot 4} - \frac{- 5}{4} (- (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x))$

解题步骤 7.6

乘。

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解题步骤 7.6.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} - \frac{- 5}{4} (- (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x))$

解题步骤 7.6.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} + 1 (\frac{- 5}{4}) (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

解题步骤 7.6.3

将 $\frac{- 5}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} + \frac{- 5}{4} (\frac{5}{4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x)$

解题步骤 7.7

将 $\frac{5}{4}$ 乘以 $\frac{- 5}{4}$ 。

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} + \frac{5 \cdot - 5}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x$

解题步骤 7.8

乘。

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解题步骤 7.8.1

将 $5$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} + \frac{- 25}{4 \cdot 4} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x$

解题步骤 7.8.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16} + \frac{- 25}{16} \int e^{4 x} (\cos (5 x)) d x$

解题步骤 8

求解 $\int e^{4 x} \cos (5 x) d x$ ，我们发现 $\int e^{4 x} \cos (5 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16}}{\frac{41}{16}}$ 。

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{\sin (5 x) e^{4 x} \cdot - 5}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

将 $- 5$ 移到 $\sin (5 x) e^{4 x}$ 的左侧。

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - \frac{- 5 \cdot (\sin (5 x) e^{4 x})}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

解题步骤 9.1.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} - - \frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

解题步骤 9.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} + 1 \frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

解题步骤 9.1.4

将 $\frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} + \frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}}{\frac{41}{16}} + C$

解题步骤 9.1.5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{41}{16}$ 。

$(\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} + \frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$

解题步骤 9.2

将 $(\frac{\cos (5 x) e^{4 x}}{4} + \frac{5 \sin (5 x) e^{4 x}}{16}) \frac{16}{41} + C$ 重写为 $(\frac{1}{4} \cos (5 x) e^{4 x} + \frac{5}{16} \sin (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$ 。

$(\frac{1}{4} \cos (5 x) e^{4 x} + \frac{5}{16} \sin (5 x) e^{4 x}) \frac{16}{41} + C$

微积分学 示例

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