微积分学示例

$\int \frac{1}{t} \cdot (\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}) d t$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{t}$ 乘以 $\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}$ 。

$\int \frac{\frac{2}{t^{2}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

解题步骤 1.2

化简分子。

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解题步骤 1.2.1

要将 $\frac{2}{t^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{t}{t}$ 。

$\int \frac{\frac{2}{t^{2}} \cdot \frac{t}{t} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

解题步骤 1.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $t^{3}$ 的形式。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $\frac{2}{t^{2}}$ 乘以 $\frac{t}{t}$ 。

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2} t} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

解题步骤 1.2.2.2

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1

将 $t^{2}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2} t^{1}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{2 + 1}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

解题步骤 1.2.2.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{\frac{2 t}{t^{3}} - \frac{3}{t^{3}}}{t} d t$

解题步骤 1.2.3

在公分母上合并分子。

$\int \frac{\frac{2 t - 3}{t^{3}}}{t} d t$

解题步骤 1.3

将分子乘以分母的倒数。

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3}} \cdot \frac{1}{t} d t$

解题步骤 1.4

乘以 $\frac{2 t - 3}{t^{3}} \cdot \frac{1}{t}$ 。

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解题步骤 1.4.1

将 $\frac{2 t - 3}{t^{3}}$ 乘以 $\frac{1}{t}$ 。

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3} t} d t$

解题步骤 1.4.2

通过指数相加将 $t^{3}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $t^{3}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 1.4.2.1.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3} t^{1}} d t$

解题步骤 1.4.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{2 t - 3}{t^{3 + 1}} d t$

解题步骤 1.4.2.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{2 t - 3}{t^{4}} d t$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $t^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (2 t - 3) {(t^{4})}^{- 1} d t$

解题步骤 2.2

将 ${(t^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (2 t - 3) t^{4 \cdot - 1} d t$

解题步骤 2.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int (2 t - 3) t^{- 4} d t$

解题步骤 3

乘以 $(2 t - 3) t^{- 4}$ 。

$\int 2 t \cdot t^{- 4} - 3 t^{- 4} d t$

解题步骤 4

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t^{- 4}$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $t^{- 4}$ 。

$\int 2 (t^{- 4} t) - 3 t^{- 4} d t$

解题步骤 4.2

将 $t^{- 4}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 2 (t^{- 4} t^{1}) - 3 t^{- 4} d t$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 t^{- 4 + 1} - 3 t^{- 4} d t$

解题步骤 4.3

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$\int 2 t^{- 3} - 3 t^{- 4} d t$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 t^{- 3} d t + \int - 3 t^{- 4} d t$

解题步骤 6

由于 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int t^{- 3} d t + \int - 3 t^{- 4} d t$

解题步骤 7

根据幂法则， $t^{- 3}$ 对 $t$ 的积分是 $- \frac{1}{2} t^{- 2}$ 。

$2 (- \frac{1}{2} t^{- 2} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

组合 $t^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (- \frac{t^{- 2}}{2} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

解题步骤 8.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- 2}$ 移动到分母。

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) + \int - 3 t^{- 4} d t$

解题步骤 9

由于 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 3$ 移到积分外。

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 \int t^{- 4} d t$

解题步骤 10

根据幂法则， $t^{- 4}$ 对 $t$ 的积分是 $- \frac{1}{3} t^{- 3}$ 。

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3} t^{- 3} + C)$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

化简。

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解题步骤 11.1.1

组合 $t^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{t^{- 3}}{3} + C)$

解题步骤 11.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- 3}$ 移动到分母。

$2 (- \frac{1}{2 t^{2}} + C) - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}} + C)$

解题步骤 11.2

化简。

$\frac{- 1}{t^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}}) + C$

解题步骤 11.3

化简。

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解题步骤 11.3.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{t^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 t^{3}}) + C$

解题步骤 11.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$- \frac{1}{t^{2}} + 3 \frac{1}{3 t^{3}} + C$

解题步骤 11.3.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3 t^{3}}$ 。

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{3}{3 t^{3}} + C$

解题步骤 11.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.3.4.1

约去公因数。

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{3}{3 t^{3}} + C$

解题步骤 11.3.4.2

重写表达式。

$- \frac{1}{t^{2}} + \frac{1}{t^{3}} + C$

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