微积分学示例

$\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x$

解题步骤 1

将 $\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{8 x} d x]$ 重写为 $\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 \sqrt{2 x} d x]$ 。

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解题步骤 1.1

将 $8 x$ 重写为 $2^{2} \cdot (2 x)$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{4 (2) x} d x]$

解题步骤 1.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{2^{2} \cdot 2 x} d x]$

解题步骤 1.1.3

添加圆括号。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} \sqrt{2^{2} \cdot (2 x)} d x]$

解题步骤 1.2

从根式下提出各项。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 \sqrt{2 x} d x]$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 x}$ 重写成 ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}} d x]$

解题步骤 3

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 {(2 (x))}^{\frac{1}{2}} d x]$

解题步骤 4

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) d x]$

解题步骤 5

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} x^{\frac{1}{2}} d x]$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}} d x]$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

解题步骤 7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

解题步骤 7.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{d}{d x} [\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x]$

解题步骤 8

因为在计算 $\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$ 后，它相对于 $x$ 将是一个常数，所以 $\int_{0}^{8} 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} d x$ 相对于 $x$ 的导数是 $0$ 。

$0$

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