微积分学示例

$\int_{2 x}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$

解题步骤 1

将积分拆分为两个积分，其中 $c$ 是 $2 x$ 和 $3 x + 1$ 之间的某个值。

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

解题步骤 2

根据加法法则， $\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t + \int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$ 。

$\frac{d}{d x} [\int_{2 x}^{c} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

解题步骤 3

交换积分的上下界。

$\frac{d}{d x} [- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t] + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

解题步骤 4

使用微积分基本定理和链式法则，取 $- \int_{c}^{2 x} \sin (t^{4}) d t$ 对 $x$ 的导数。

$\frac{d}{d x} [2 x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

解题步骤 5

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

解题步骤 5.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t]$

解题步骤 6

使用微积分基本定理和链式法则，取 $\int_{c}^{3 x + 1} \sin (t^{4}) d t$ 对 $x$ 的导数。

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + \frac{d}{d x} [3 x + 1] \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

解题步骤 7

根据加法法则， $3 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

解题步骤 8

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

解题步骤 8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

解题步骤 8.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + \frac{d}{d x} [1]) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

解题步骤 9

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + (3 + 0) \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

解题步骤 9.2

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$2 (- \sin ({(2 x)}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

解题步骤 9.2.2

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- \sin ({(2 (x))}^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

解题步骤 9.2.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.3.1

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$2 (- \sin (2^{4} x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

解题步骤 9.2.3.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$2 (- \sin (16 x^{4})) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

解题步骤 9.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin (16 x^{4}) + 3 \sin ({(3 x + 1)}^{4})$

微积分学 示例

微积分学示例