微积分学示例

$\int_{9}^{16} \sqrt{x} - 4 d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{9}^{16} \sqrt{x} d x + \int_{9}^{16} - 4 d x$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{9}^{16} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{9}^{16} - 4 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16} + \int_{9}^{16} - 4 d x$

解题步骤 4

应用常数不变法则。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16} + - 4 x]_{9}^{16}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

组合 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16}$ 和 $- 4 x]_{9}^{16}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 x]_{9}^{16}$

解题步骤 5.2

代入并化简。

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解题步骤 5.2.1

计算 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 x$ 在 $16$ 处和在 $9$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 16) - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2

化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.3.1

约去公因数。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.3.2

重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.4

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2}{3} \cdot 64 - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $64$ 。

$\frac{2 \cdot 64}{3} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.6

将 $2$ 乘以 $64$ 。

$\frac{128}{3} - 4 \cdot 16 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.7

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$\frac{128}{3} - 64 - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.8

要将 $- 64$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{128}{3} - 64 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.9

组合 $- 64$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{128}{3} + \frac{- 64 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.10

在公分母上合并分子。

$\frac{128 - 64 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.11

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.11.1

将 $- 64$ 乘以 $3$ 。

$\frac{128 - 192}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.11.2

从 $128$ 中减去 $192$ 。

$\frac{- 64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.12

将负号移到分数的前面。

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.13

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.14

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.15

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.15.1

约去公因数。

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.15.2

重写表达式。

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.16

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{64}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 27 - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.17

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $27$ 。

$- \frac{64}{3} - (\frac{2 \cdot 27}{3} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.18

将 $2$ 乘以 $27$ 。

$- \frac{64}{3} - (\frac{54}{3} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.19

约去 $54$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.19.1

从 $54$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{64}{3} - (\frac{3 \cdot 18}{3} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.19.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.2.19.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{64}{3} - (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.19.2.2

约去公因数。

$- \frac{64}{3} - (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.19.2.3

重写表达式。

$- \frac{64}{3} - (\frac{18}{1} - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.19.2.4

用 $18$ 除以 $1$ 。

$- \frac{64}{3} - (18 - 4 \cdot 9)$

解题步骤 5.2.2.20

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{64}{3} - (18 - 36)$

解题步骤 5.2.2.21

从 $18$ 中减去 $36$ 。

$- \frac{64}{3} - - 18$

解题步骤 5.2.2.22

将 $- 1$ 乘以 $- 18$ 。

$- \frac{64}{3} + 18$

解题步骤 5.2.2.23

要将 $18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{64}{3} + 18 \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.2.2.24

组合 $18$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{64}{3} + \frac{18 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.2.25

在公分母上合并分子。

$\frac{- 64 + 18 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.2.26

化简分子。

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解题步骤 5.2.2.26.1

将 $18$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 64 + 54}{3}$

解题步骤 5.2.2.26.2

将 $- 64$ 和 $54$ 相加。

$\frac{- 10}{3}$

解题步骤 5.2.2.27

将负号移到分数的前面。

$- \frac{10}{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{10}{3}$

小数形式：

$- 3.\overline{3}$

带分数形式：

$- 3 \frac{1}{3}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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