微积分学示例

$\int x \sqrt[4]{5 x + 1} d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = x$ ， $d v = \sqrt[4]{5 x + 1}$ 。

$x (\frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $\frac{4}{25}$ 和 ${(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ 。

$x \frac{4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 2.2

组合 $x$ 和 $\frac{4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25}$ 。

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \int \frac{4}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{4}{25}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{4}{25}$ 移到积分外。

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - (\frac{4}{25} \int {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} d x)$

解题步骤 4

使 $u = 5 x + 1$ 。然后使 $d u = 5 d x$ ，以便 $\frac{1}{5} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = 5 x + 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $5 x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $5 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$5$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} \int u^{\frac{5}{4}} \frac{1}{5} d u$

解题步骤 5

组合 $u^{\frac{5}{4}}$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} \int \frac{u^{\frac{5}{4}}}{5} d u$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{5}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{5}$ 移到积分外。

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{25} (\frac{1}{5} \int u^{\frac{5}{4}} d u)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{4}{25}$ 。

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{5 \cdot 25} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

解题步骤 7.2

将 $5$ 乘以 $25$ 。

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} \int u^{\frac{5}{4}} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{\frac{5}{4}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}}$ 。

$\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

将 $\frac{x (4 {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}})}{25} - \frac{4}{125} (\frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C)$ 重写为 $\frac{4}{25} x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$ 。

$\frac{4}{25} x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $\frac{4}{25}$ 和 $x$ 。

$\frac{4 x}{25} {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

解题步骤 9.2.2

组合 $\frac{4 x}{25}$ 和 ${(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ 。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{4}{125} \cdot \frac{4}{9} u^{\frac{9}{4}} + C$

解题步骤 9.2.3

将 $\frac{4}{9}$ 乘以 $\frac{4}{125}$ 。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 125} u^{\frac{9}{4}} + C$

解题步骤 9.2.4

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{9 \cdot 125} u^{\frac{9}{4}} + C$

解题步骤 9.2.5

将 $9$ 乘以 $125$ 。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} + C$

解题步骤 9.2.6

要将 $- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot \frac{25}{25} + C$

解题步骤 9.2.7

组合 $- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}}$ 和 $\frac{25}{25}$ 。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}}{25} + \frac{- \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot 25}{25} + C$

解题步骤 9.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16}{1125} u^{\frac{9}{4}} \cdot 25}{25} + C$

解题步骤 9.2.9

组合 $u^{\frac{9}{4}}$ 和 $\frac{16}{1125}$ 。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125} \cdot 25}{25} + C$

解题步骤 9.2.10

将 $25$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 25 \frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125}}{25} + C$

解题步骤 9.2.11

组合 $- 25$ 和 $\frac{u^{\frac{9}{4}} \cdot 16}{1125}$ 。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 25 (u^{\frac{9}{4}} \cdot 16)}{1125}}{25} + C$

解题步骤 9.2.12

将 $16$ 乘以 $- 25$ 。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 400 u^{\frac{9}{4}}}{1125}}{25} + C$

解题步骤 9.2.13

从 $- 400 u^{\frac{9}{4}}$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{1125}}{25} + C$

解题步骤 9.2.14

约去公因数。

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解题步骤 9.2.14.1

从 $1125$ 中分解出因数 $25$ 。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{25 (45)}}{25} + C$

解题步骤 9.2.14.2

约去公因数。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{25 (- 16 u^{\frac{9}{4}})}{25 \cdot 45}}{25} + C$

解题步骤 9.2.14.3

重写表达式。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} + \frac{- 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

解题步骤 9.2.15

将负号移到分数的前面。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

解题步骤 9.2.16

要将 $4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{45}{45}$ 。

$\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot \frac{45}{45} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

解题步骤 9.2.17

组合 $4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}}$ 和 $\frac{45}{45}$ 。

$\frac{\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 45}{45} - \frac{16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

解题步骤 9.2.18

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{4 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} \cdot 45 - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

解题步骤 9.2.19

将 $45$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25} + C$

解题步骤 9.2.20

将 $\frac{\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}}{25}$ 重写为乘积形式。

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45} \cdot \frac{1}{25} + C$

解题步骤 9.2.21

将 $\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45}$ 乘以 $\frac{1}{25}$ 。

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{45 \cdot 25} + C$

解题步骤 9.2.22

将 $45$ 乘以 $25$ 。

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 u^{\frac{9}{4}}}{1125} + C$

解题步骤 10

使用 $5 x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(5 x + 1)}^{\frac{9}{4}}}{1125} + C$

解题步骤 11

重新排序项。

$\frac{1}{1125} (180 x {(5 x + 1)}^{\frac{5}{4}} - 16 {(5 x + 1)}^{\frac{9}{4}}) + C$

微积分学 示例

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