微积分学示例

$y = {(2 x + 1)}^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{2})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

将 ${(2 x + 1)}^{2}$ 重写为 $(2 x + 1) (2 x + 1)$ 。

$\frac{d}{d x} [(2 x + 1) (2 x + 1)]$

解题步骤 3.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 1) (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)]$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)]$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

解题步骤 3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

解题步骤 3.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

解题步骤 3.3.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

解题步骤 3.3.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1]$

解题步骤 3.3.1.5

将 $2 x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1]$

解题步骤 3.3.1.6

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1]$

解题步骤 3.3.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1]$

解题步骤 3.4

根据加法法则， $4 x^{2} + 4 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.8

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$8 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.10

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$8 x + 4 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.11

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 x + 4 + 0$

解题步骤 3.12

将 $8 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$8 x + 4$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 8 x + 4$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 8 x + 4$

微积分学 示例

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