微积分学示例

$\int_{1}^{5} \frac{5}{x^{3}} d x$

解题步骤 1

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$5 \int_{1}^{5} \frac{1}{x^{3}} d x$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

通过将 $x^{3}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$5 \int_{1}^{5} {(x^{3})}^{- 1} d x$

解题步骤 2.2

将 ${(x^{3})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5 \int_{1}^{5} x^{3 \cdot - 1} d x$

解题步骤 2.2.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$5 \int_{1}^{5} x^{- 3} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{- 3}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ 。

$5 (- \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{5})$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简。

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解题步骤 4.1.1

组合 $x^{- 2}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$5 (- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{5})$

解题步骤 4.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 2}$ 移动到分母。

$5 (- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{5})$

解题步骤 4.2

代入并化简。

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解题步骤 4.2.1

计算 $- \frac{1}{2 x^{2}}$ 在 $5$ 处和在 $1$ 处的值。

$5 ((- \frac{1}{2 \cdot 5^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$5 (- \frac{1}{2 \cdot 25} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 4.2.2.2

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

解题步骤 4.2.2.3

一的任意次幂都为一。

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

解题步骤 4.2.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.2.5

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{1}{2} \cdot \frac{25}{25})$

解题步骤 4.2.2.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $50$ 的形式。

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解题步骤 4.2.2.6.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{25}{25}$ 。

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{25}{2 \cdot 25})$

解题步骤 4.2.2.6.2

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$5 (- \frac{1}{50} + \frac{25}{50})$

解题步骤 4.2.2.7

在公分母上合并分子。

$5 \frac{- 1 + 25}{50}$

解题步骤 4.2.2.8

将 $- 1$ 和 $25$ 相加。

$5 (\frac{24}{50})$

解题步骤 4.2.2.9

约去 $24$ 和 $50$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.9.1

从 $24$ 中分解出因数 $2$ 。

$5 \frac{2 (12)}{50}$

解题步骤 4.2.2.9.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.9.2.1

从 $50$ 中分解出因数 $2$ 。

$5 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 25}$

解题步骤 4.2.2.9.2.2

约去公因数。

$5 \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 25}$

解题步骤 4.2.2.9.2.3

重写表达式。

$5 (\frac{12}{25})$

解题步骤 4.2.2.10

组合 $5$ 和 $\frac{12}{25}$ 。

$\frac{5 \cdot 12}{25}$

解题步骤 4.2.2.11

将 $5$ 乘以 $12$ 。

$\frac{60}{25}$

解题步骤 4.2.2.12

约去 $60$ 和 $25$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.12.1

从 $60$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 (12)}{25}$

解题步骤 4.2.2.12.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.2.12.2.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{5 \cdot 12}{5 \cdot 5}$

解题步骤 4.2.2.12.2.2

约去公因数。

$\frac{5 \cdot 12}{5 \cdot 5}$

解题步骤 4.2.2.12.2.3

重写表达式。

$\frac{12}{5}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{12}{5}$

小数形式：

$2.4$

带分数形式：

$2 \frac{2}{5}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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