微积分学示例

$\int_{1}^{500} 13^{x} - 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 1

计算

$\int_{1}^{500} 13^{x} - 11^{x} d x$ 。

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解题步骤 1.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{500} 13^{x} d x + \int_{1}^{500} - 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 1.2

$13^{x}$ 对

$x$ 的积分为

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ 。

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{1}^{500} + \int_{1}^{500} - 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 1.3

由于

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$- 1$ 移到积分外。

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{1}^{500} - \int_{1}^{500} 11^{x} d x + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 1.4

$11^{x}$ 对

$x$ 的积分为

$\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ 。

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{1}^{500} - (\frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{1}^{500}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 1.5

代入并化简。

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解题步骤 1.5.1

计算

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ 在

$500$ 处和在

$1$ 处的值。

$(\frac{13^{500}}{\ln (13)}) - \frac{13^{1}}{\ln (13)} - (\frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{1}^{500}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 1.5.2

计算

$\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ 在

$500$ 处和在

$1$ 处的值。

$\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13^{1}}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{1}}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 1.5.3

化简。

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解题步骤 1.5.3.1

计算指数。

$\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{1}}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 1.5.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{1}}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 1.5.3.3

计算指数。

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} - (\frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11}{\ln (11)}) + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 1.5.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 1.5.3.5

要将

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ 。

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} \cdot \frac{\ln (11)}{\ln (11)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 1.5.3.6

要将

$- \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ 。

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)} \cdot \frac{\ln (11)}{\ln (11)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} \cdot \frac{\ln (13)}{\ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 1.5.3.7

通过与

$1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母

$\ln (13) \ln (11)$ 的形式。

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解题步骤 1.5.3.7.1

将

$\frac{13^{500} - 13}{\ln (13)}$ 乘以

$\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ 。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11)}{\ln (13) \ln (11)} - \frac{11^{500} - 11}{\ln (11)} \cdot \frac{\ln (13)}{\ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 1.5.3.7.2

将

$\frac{11^{500} - 11}{\ln (11)}$ 乘以

$\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ 。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11)}{\ln (13) \ln (11)} - \frac{(11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 1.5.3.7.3

重新排序

$\ln (13) \ln (11)$ 的因式。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11)}{\ln (11) \ln (13)} - \frac{(11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 1.5.3.8

在公分母上合并分子。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$

解题步骤 2

计算

$\int_{2}^{500} 11^{x} - 13^{x} d x$ 。

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解题步骤 2.1

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \int_{2}^{500} 11^{x} d x + \int_{2}^{500} - 13^{x} d x$

解题步骤 2.2

$11^{x}$ 对

$x$ 的积分为

$\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ 。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{2}^{500} + \int_{2}^{500} - 13^{x} d x$

解题步骤 2.3

由于

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以将

$- 1$ 移到积分外。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{2}^{500} - \int_{2}^{500} 13^{x} d x$

解题步骤 2.4

$13^{x}$ 对

$x$ 的积分为

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ 。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{x}}{\ln (11)}]_{2}^{500} - (\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{2}^{500})$

解题步骤 2.5

代入并化简。

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解题步骤 2.5.1

计算

$\frac{11^{x}}{\ln (11)}$ 在

$500$ 处和在

$2$ 处的值。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + (\frac{11^{500}}{\ln (11)}) - \frac{11^{2}}{\ln (11)} - (\frac{13^{x}}{\ln (13)}]_{2}^{500})$

解题步骤 2.5.2

计算

$\frac{13^{x}}{\ln (13)}$ 在

$500$ 处和在

$2$ 处的值。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{11^{2}}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13^{2}}{\ln (13)})$

解题步骤 2.5.3

化简。

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解题步骤 2.5.3.1

对

$11$ 进行

$2$ 次方运算。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{13^{2}}{\ln (13)})$

解题步骤 2.5.3.2

对

$13$ 进行

$2$ 次方运算。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)})$

解题步骤 2.5.3.3

要将

$- (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)})$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ 。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \cdot \frac{\ln (11)}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)}$

解题步骤 2.5.3.4

组合

$- (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)})$ 和

$\frac{\ln (11)}{\ln (11)}$ 。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500}}{\ln (11)} + \frac{- (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11)}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)}$

解题步骤 2.5.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11)}{\ln (11)} - \frac{121}{\ln (11)}$

解题步骤 2.5.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

要将

$\frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ 。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)} \cdot \frac{\ln (13)}{\ln (13)}$

解题步骤 3.2

将

$\frac{11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121}{\ln (11)}$ 乘以

$\frac{\ln (13)}{\ln (13)}$ 。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)} + \frac{(11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)}$

解题步骤 3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{(13^{500} - 13) \ln (11) - (11^{500} - 11) \ln (13) + (11^{500} - (\frac{13^{500}}{\ln (13)} - \frac{169}{\ln (13)}) \ln (11) - 121) \ln (13)}{\ln (11) \ln (13)}$

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