微积分学示例

$\int_{1}^{5} x \sqrt{2 x^{2} - 1} d x$

解题步骤 1

使 $u = 2 x^{2} - 1$ 。然后使 $d u = 4 x d x$ ，以便 $\frac{1}{4} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = 2 x^{2} - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $2 x^{2} - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1]$

解题步骤 1.1.2

根据加法法则， $2 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x + 0$

解题步骤 1.1.4.2

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = 2 x^{2} - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 2 \cdot 1^{2} - 1$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 1$

解题步骤 1.3.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u_{lower} = 2 - 1$

解题步骤 1.3.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = 2 x^{2} - 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 2 \cdot 5^{2} - 1$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 2 \cdot 25 - 1$

解题步骤 1.5.1.2

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$u_{upper} = 50 - 1$

解题步骤 1.5.2

从 $50$ 中减去 $1$ 。

$u_{upper} = 49$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 49$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

解题步骤 2

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\int_{1}^{49} \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} \sqrt{u} d u$

解题步骤 4

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{1}{4} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{49}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $49$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{4} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.4

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $343$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.6

将 $2$ 乘以 $343$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 6.2.7

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

解题步骤 6.2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3})$

解题步骤 6.2.9

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{686 - 2}{3}$

解题步骤 6.2.10

从 $686$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{684}{3}$

解题步骤 6.2.11

约去 $684$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.11.1

从 $684$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3}$

解题步骤 6.2.11.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.11.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 (1)}$

解题步骤 6.2.11.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 228}{3 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.11.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{228}{1}$

解题步骤 6.2.11.2.4

用 $228$ 除以 $1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot 228$

解题步骤 6.2.12

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $228$ 。

$\frac{228}{4}$

解题步骤 6.2.13

约去 $228$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.13.1

从 $228$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 57}{4}$

解题步骤 6.2.13.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.13.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 57}{4 (1)}$

解题步骤 6.2.13.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 57}{4 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.13.2.3

重写表达式。

$\frac{57}{1}$

解题步骤 6.2.13.2.4

用 $57$ 除以 $1$ 。

$57$

解题步骤 7

微积分学 示例

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