微积分学示例

$\int_{1}^{e} x^{2} - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{e} x^{2} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

解题步骤 3

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

代入并化简。

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解题步骤 5.1.1

计算 $\frac{1}{3} x^{3}$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\frac{1}{3} e^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

解题步骤 5.1.2

计算 $\ln (| x |)$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$\frac{1}{3} e^{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 5.1.3

化简。

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解题步骤 5.1.3.1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $e^{3}$ 。

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 5.1.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 5.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{3}}{3} - \frac{1}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 5.1.3.4

要将 $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{e^{3}}{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.1.3.5

组合 $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{e^{3}}{3} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.1.3.6

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{3} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.1.3.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{e^{3} - 3 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{3} - \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.2

在公分母上合并分子。

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{3}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

$e$ 约为 $2.71828182$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{3}$

解题步骤 5.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{e^{3} - 3 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{3}$

解题步骤 5.3.3

用 $e$ 除以 $1$ 。

$\frac{e^{3} - 3 \ln (e) - 1}{3}$

解题步骤 5.3.4

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$\frac{e^{3} - 3 \cdot 1 - 1}{3}$

解题步骤 5.3.5

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{3} - 3 - 1}{3}$

解题步骤 5.3.6

从 $- 3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{e^{3} - 4}{3}$

小数形式：

$5.36184564 \dots$

解题步骤 7

微积分学 示例

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