微积分学示例

$\int_{1}^{e} 4 x - \frac{11}{x} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{e} 4 x d x + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

解题步骤 2

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) + \int_{1}^{e} - \frac{11}{x} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - \int_{1}^{e} \frac{11}{x} d x$

解题步骤 6

由于 $11$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $11$ 移到积分外。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - (11 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 7

将 $11$ 乘以 $- 1$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 11 \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

解题步骤 8

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$4 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{e}) - 11 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

代入并化简。

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解题步骤 9.1.1

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 ((\frac{e^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}) - 11 (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

解题步骤 9.1.2

计算 $\ln (| x |)$ 在 $e$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 11 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.1.3

一的任意次幂都为一。

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 11 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$

解题步骤 9.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$4 (\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

运用分配律。

$4 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 9.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2) \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 9.3.2.2

约去公因数。

$2 \cdot 2 \frac{e^{2}}{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 9.3.2.3

重写表达式。

$2 e^{2} + 4 (- \frac{1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 9.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 e^{2} + 4 (\frac{- 1}{2}) - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 9.3.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 e^{2} + 2 (2) \frac{- 1}{2} - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 9.3.3.3

约去公因数。

$2 e^{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 9.3.3.4

重写表达式。

$2 e^{2} + 2 \cdot - 1 - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 9.3.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})$

解题步骤 9.3.5

$e$ 约为 $2.71828182$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{e}{| 1 |})$

解题步骤 9.3.6

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (\frac{e}{1})$

解题步骤 9.3.7

用 $e$ 除以 $1$ 。

$2 e^{2} - 2 - 11 \ln (e)$

解题步骤 9.3.8

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$2 e^{2} - 2 - 11 \cdot 1$

解题步骤 9.3.9

将 $- 11$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{2} - 2 - 11$

解题步骤 9.3.10

从 $- 2$ 中减去 $11$ 。

$2 e^{2} - 13$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 e^{2} - 13$

小数形式：

$1.77811219 \dots$

解题步骤 11

微积分学 示例

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