微积分学示例

$\int_{2}^{x^{2}} \arctan (t) d t$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \arctan (t)$ ， $d v = 1$ 。

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{2}^{x^{2}} t \frac{1}{t^{2} + 1} d t$

解题步骤 2

组合 $t$ 和 $\frac{1}{t^{2} + 1}$ 。

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{2}^{x^{2}} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

解题步骤 3

使 $u = t^{2} + 1$ 。然后使 $d u = 2 t d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = t d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u = t^{2} + 1$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $t^{2} + 1$ 求导。

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $t^{2} + 1$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

解题步骤 3.1.4

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$2 t + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $2 t$ 和 $0$ 相加。

$2 t$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u = t^{2} + 1$ 中的 $t$ 。

$u_{lower} = 2^{2} + 1$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{lower} = 4 + 1$

解题步骤 3.3.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 5$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u = t^{2} + 1$ 中的 $t$ 。

$u_{upper} = {(x^{2})}^{2} + 1$

解题步骤 3.5

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u_{upper} = x^{2 \cdot 2} + 1$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u_{upper} = x^{4} + 1$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = x^{4} + 1$

解题步骤 3.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{1}{u}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

解题步骤 4.2

将 $2$ 移到 $u$ 的左侧。

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{2 u} d u$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - (\frac{1}{2} \int_{5}^{x^{4} + 1} \frac{1}{u} d u)$

解题步骤 6

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\arctan (t) t]_{2}^{x^{2}} - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{5}^{x^{4} + 1}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\arctan (t) t$ 在 $x^{2}$ 处和在 $2$ 处的值。

$(\arctan (x^{2}) x^{2}) - \arctan (2) \cdot 2 - \frac{1}{2} \ln (| u |)]_{5}^{x^{4} + 1}$

解题步骤 7.2

计算 $\ln (| u |)$ 在 $x^{4} + 1$ 处和在 $5$ 处的值。

$(\arctan (x^{2}) x^{2}) - \arctan (2) \cdot 2 - \frac{1}{2} ((\ln (| x^{4} + 1 |)) - \ln (| 5 |))$

解题步骤 7.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{1}{2} (\ln (| x^{4} + 1 |) - \ln (| 5 |))$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{1}{2} \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})$

解题步骤 8.2

组合 $\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\arctan (x^{2}) x^{2} - 2 \arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2}$

解题步骤 8.3

要将 $\arctan (x^{2}) x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

解题步骤 8.4

组合 $\arctan (x^{2}) x^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

解题步骤 8.5

在公分母上合并分子。

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

解题步骤 8.6

将 $2$ 移到 $\arctan (x^{2}) x^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{| 5 |})}{2} - 2 \arctan (2)$

解题步骤 9

化简项。

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解题步骤 9.1

重新排序项。

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{1}{| 5 |} | x^{4} + 1 |)) - 2 \arctan (2)$

解题步骤 9.2

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $5$ 之间的距离为 $5$ 。

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{1}{5} | x^{4} + 1 |)) - 2 \arctan (2)$

解题步骤 9.2.1.2

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $| x^{4} + 1 |$ 。

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

解题步骤 9.2.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} (2 \arctan (x^{2}) x^{2}) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

解题步骤 9.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.1

从 $2 \arctan (x^{2}) x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} (2 (\arctan (x^{2}) x^{2})) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

解题步骤 9.2.3.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (2 (\arctan (x^{2}) x^{2})) + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

解题步骤 9.2.3.3

重写表达式。

$\arctan (x^{2}) x^{2} + \frac{1}{2} (- \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})) - 2 \arctan (2)$

解题步骤 9.2.4

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})$ 。

$\arctan (x^{2}) x^{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

解题步骤 9.2.5

要将 $\arctan (x^{2}) x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

解题步骤 9.2.6

组合 $\arctan (x^{2}) x^{2}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{\ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

解题步骤 9.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{\arctan (x^{2}) x^{2} \cdot 2 - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

解题步骤 9.2.8

将 $2$ 移到 $\arctan (x^{2}) x^{2}$ 的左侧。

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \arctan (2)$

解题步骤 9.2.9

计算 $\arctan (2)$ 。

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2 \cdot 1.10714871$

解题步骤 9.2.10

将 $- 2$ 乘以 $1.10714871$ 。

$\frac{2 \arctan (x^{2}) x^{2} - \ln (\frac{| x^{4} + 1 |}{5})}{2} - 2.21429743$

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